(T¸i b¶n lÇn thø s¸u)

NHAÂ XUÊËT BAÃN GIAÁO DUÅC VIÏåT NAM

Ghi chó vÒ hai cét s¸ch

PhÇn lín c¸c trang s¸ch cã hai cét : cét phô gåm mét sè h×nh vÏ vµ nh÷ng
biÓu b¶ng, nh÷ng ghi chó vµ vÝ dô cô thÓ ®Ó lµm râ h¬n kiÕn thøc tr×nh bµy
ë cét chÝnh. Häc sinh kh«ng cÇn nhí, chØ cÇn hiÓu sè liÖu trong c¸c
biÓu b¶ng, nh÷ng vÝ dô vµ ghi chó ë cét phô. Trong cét phô cã nh÷ng c©u

hái kÝ hiÖu C dïng ®Ó nªu vÊn ®Ò vµ gîi më trong giê häc.

B¶n quyÒn thuéc Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam − Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o

02-2014/CXB/17-1213/GD

M· sè : NH205T4

CH¦¥NG I
®éNG LùC häc vËt r¾n

§u quay

ChuyÓn ®éng quay cã ë mäi n¬i, quanh ta. §ã lµ chuyÓn ®éng
cña chiÕc ®u quay, ®Üa compact (CD), kim ®ång hå. §ã còng lµ
chuyÓn ®éng cña diÔn viªn nhµo lén, nghÖ sÜ trðît b¨ng, lµ
chuyÓn ®éng quay quanh trôc cña Tr¸i §Êt, cña c¸c hµnh tinh
trong hÖ MÆt Trêi… Trong chð¬ng nµy, chóng ta sÏ kh¶o s¸t
chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét trôc cè ®Þnh, trong ®ã
vËt r¾n ®ðîc hiÓu lµ nh÷ng vËt cã kÝch thðíc ®¸ng kÓ vµ hÇu nhð
kh«ng bÞ biÕn d¹ng dðíi t¸c dông cña ngo¹i lùc.

3

1

CHUYÓN §énG QUAY CñA VËT R¾N
QUANH méT TRôC Cè §ÞnH

ChuyÓn ®éng quay cña cän nðíc (lo¹i
guång nðíc thðêng thÊy ë vïng nói phÝa
B¾c nðíc ta). Cän nðíc ®ðîc dïng ®Ó t¶i
nðíc tõ suèi lªn ruéng cao.

ë líp 10, ta ®· biÕt vËt r¾n lµ vËt mµ kho¶ng
c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k× cña vËt kh«ng thay
®æi (vËt kh«ng thay ®æi h×nh d¹ng). Khi vËt r¾n
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn (th¼ng hoÆc cong) th× mäi
®iÓm cña vËt cã quü ®¹o gièng hÖt nhau, cã thÓ
chång khÝt lªn nhau. V× thÕ, muèn kh¶o s¸t
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn cña vËt r¾n, ta chØ cÇn xÐt
chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm bÊt k× cña nã. Trong
bµi nµy, chóng ta sÏ ®i s©u t×m hiÓu chuyÓn
®éng quay cña vËt r¾n quanh mét trôc cè ®Þnh
vÒ phð¬ng diÖn ®éng häc víi néi dung lµ : x¸c
®Þnh quy luËt chuyÓn ®éng cña vËt vµ t×m mèi
liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i lðîng ®Æc trðng cho chuyÓn
®éng quay.

1. To¹ ®é gãc
XÐt mét vËt r¾n bÊt k× quay quanh mét trôc
Az cè ®Þnh (H×nh 1.1). ChuyÓn ®éng nµy cã hai
®Æc ®iÓm sau ®©y :
− Mçi ®iÓm trªn vËt v¹ch mét ®ðêng trßn
n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc quay,
cã b¸n kÝnh b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®ã ®Õn
trôc quay, cã t©m ë trªn trôc quay.
H×nh 1.1 VËt r¾n quay quanh mét trôc cè
®Þnh Az. P0 lµ mÆt ph¼ng cè ®Þnh, P lµ
mÆt ph¼ng ®éng g¾n víi vËt vµ quay cïng
víi vËt.

C1 Trªn H×nh 1.1, khi vËt r¾n quay
quanh trôc Az th× c¸c ®iÓm M, N trªn
vËt sÏ chuyÓn ®éng nhð thÕ nµo ?

4

− Mäi ®iÓm cña vËt ®Òu quay ®ðîc cïng mét
gãc trong cïng mét kho¶ng thêi gian.
Trªn H×nh 1.1, vÞ trÝ cña vËt t¹i mçi thêi
®iÓm sÏ ®ðîc x¸c ®Þnh b»ng gãc ϕ gi÷a mét mÆt
ph¼ng ®éng P g¾n víi vËt vµ mét mÆt ph¼ng cè
®Þnh P0 (hai mÆt ph¼ng nµy ®Òu chøa trôc
quay). Gãc ϕ ®ðîc gäi lµ to¹ ®é gãc cña vËt.

Gãc ϕ ®o b»ng ra®ian (rad).
§Ó ®¬n gi¶n, ta chØ xÐt vËt quay theo mét chiÒu vµ
chän chiÒu dð¬ng lµ chiÒu quay cña vËt, khi ®ã ϕ > 0.
Khi vËt r¾n quay, sù biÕn thiªn cña ϕ theo thêi
gian t thÓ hiÖn quy luËt chuyÓn ®éng cña mÆt ph¼ng
P, còng chÝnh lµ thÓ hiÖn quy luËt chuyÓn ®éng
quay cña vËt quanh trôc cè ®Þnh Az.

2. Tèc ®é gãc
ë thêi ®iÓm t, to¹ ®é gãc cña vËt lµ ϕ. ë thêi
®iÓm t + Δt, to¹ ®é gãc cña vËt lµ ϕ + Δϕ. Nhð vËy,
trong kho¶ng thêi gian Δt, gãc quay cña vËt lµ Δϕ.

H×nh 1.2 Khi vËt r¾n cã d¹ng ph¼ng
quay trong mÆt ph¼ng cña nã quanh
t©m O (ch¼ng h¹n, mét ®Üa compact
quay quanh trôc vu«ng gãc víi mÆt
®Üa), thay cho mÆt ph¼ng ®éng P vµ
mÆt ph¼ng cè ®Þnh P0, ta chØ cÇn lÊy
mét b¸n kÝnh ®éng OM nµo ®ã vµ
mét nöa ®ðêng th¼ng OM0 cè ®Þnh.

Tèc ®é gãc trung b×nh ωtb cña vËt r¾n trong
kho¶ng thêi gian Δt lµ :

ωtb =

Δϕ
Δt

(1.1)

Tèc ®é gãc tøc thêi ë mét thêi ®iÓm t ®ðîc x¸c
Δϕ
®Þnh b»ng giíi h¹n cña tØ sè
khi Δt tiÕn dÇn
Δt
tíi 0. Nhð vËy :
Δϕ dϕ
=
, hay ω = ϕ '( t)
dt
Δt → 0 Δt

ω = lim

(1.2)

C2 Mét ®Üa compact trong æ ®äc
cña mét m¸y vi tÝnh ®ang
quay ®Òu víi tèc ®é quay
450 vßng/phót. H·y x¸c ®Þnh tèc
®é gãc cña ®Üa b»ng ®¬n vÞ rad/s.

Tèc ®é gãc tøc thêi (gäi t¾t lµ tèc ®é gãc) lµ
®¹i lðîng ®Æc trðng cho møc ®é nhanh, chËm
cña chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét
trôc ë thêi ®iÓm t vµ ®ðîc x¸c ®Þnh b»ng ®¹o
hµm cña to¹ ®é gãc theo thêi gian.
§¬n vÞ cña tèc ®é gãc lµ rad/s.

3. Gia tèc gãc
T¹i thêi ®iÓm t, vËt cã tèc ®é gãc lµ ω. T¹i thêi
®iÓm t + Δt, vËt cã tèc ®é gãc lµ ω + Δω. Nhð vËy,
trong kho¶ng thêi gian Δt, tèc ®é gãc cña vËt biÕn
thiªn mét lðîng lµ Δω.
5

Gia tèc gãc trung b×nh cña vËt trong kho¶ng thêi
gian Δt lµ :
Δω
(1.3)
γ tb =
Δt

H×nh 1.3 B¸nh xe ®¹p quay quanh
trôc cè ®Þnh.

Gia tèc gãc tøc thêi ë thêi ®iÓm t ®ðîc x¸c ®Þnh
Δω
b»ng giíi h¹n cña tØ sè
khi Δt tiÕn dÇn
Δt
tíi 0. Nhð vËy :
Δω dω
=
, hay γ = ω '( t)
dt
Δ t → 0 Δt

γ = lim

C3 Trªn H×nh 1.3, mét b¸nh xe
®¹p quay tõ tr¹ng th¸i ®øng yªn,
sau 2 s nã ®¹t ®ðîc tèc ®é gãc
10 rad/s. Gia tèc gãc trung b×nh
trong thêi gian ®ã cña b¸nh xe
cã gi¸ trÞ b»ng bao nhiªu ?

(1.4)

Gia tèc gãc tøc thêi (gäi t¾t lµ gia tèc gãc) cña
vËt r¾n quay quanh mét trôc ë thêi ®iÓm t lµ ®¹i
lðîng ®Æc trðng cho sù biÕn thiªn cña tèc ®é gãc
ë thêi ®iÓm ®ã vµ ®ðîc x¸c ®Þnh b»ng ®¹o hµm
cña tèc ®é gãc theo thêi gian.
§¬n vÞ cña gia tèc gãc lµ rad/s2.

4. C¸c phð¬ng tr×nh ®éng häc cña chuyÓn
®éng quay
Ta xÐt hai d¹ng chuyÓn ®éng quay quan träng,
®ã lµ chuyÓn ®éng quay víi tèc ®é gãc kh«ng ®æi
vµ chuyÓn ®éng quay víi gia tèc gãc kh«ng ®æi.

B¶ng 1.1
Sù tð¬ng øng gi÷a c¸c ®¹i lðîng gãc
trong chuyÓn ®éng quay vµ c¸c ®¹i
lðîng dµi trong chuyÓn ®éng th¼ng.
§¹i lðîng gãc

ϕ
Tèc ®é gãc ω
Gia tèc gãc γ
To¹ ®é gãc

6

§¹i lðîng dµi
To¹ ®é x
Tèc ®é v
Gia tèc a

a) Trong trðêng hîp tèc ®é gãc cña vËt r¾n
kh«ng ®æi theo thêi gian (ω = h»ng sè) th× chuyÓn
®éng cña vËt r¾n lµ chuyÓn ®éng quay ®Òu.
Tõ c«ng thøc (1.1), chän gèc thêi gian t = 0 lµ
lóc mÆt ph¼ng P lÖch víi mÆt ph¼ng P0 mét gãc ϕ0,
ta suy ra :

ϕ = ϕ0 + ωt

(1.5)

trong ®ã ϕ0 lµ to¹ ®é gãc ban ®Çu, lóc t = 0.
Phð¬ng tr×nh (1.5) lµ phð¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
cña vËt r¾n quay ®Òu quanh mét trôc cè ®Þnh.

b) Trong trðêng hîp gia tèc gãc cña vËt r¾n
kh«ng ®æi theo thêi gian (γ = h»ng sè) th× chuyÓn
®éng cña vËt r¾n lµ chuyÓn ®éng quay biÕn ®æi ®Òu.
C¸c phð¬ng tr×nh cña chuyÓn ®éng quay biÕn ®æi
®Òu cña vËt r¾n quanh mét trôc cè ®Þnh cã d¹ng :
ω = ω0 + γ t
(1.6)
1
(1.7)
ϕ = ϕ0 + ω0 t + γ t 2
2

ω 2 − ω02 = 2γ (ϕ − ϕ 0 )

(1.8)

(ϕ0, ω0 lµ to¹ ®é gãc vµ tèc ®é gãc ban ®Çu t¹i thêi
®iÓm t = 0).
NÕu vËt quay theo mét chiÒu nhÊt ®Þnh vµ tèc ®é
gãc ω t¨ng theo thêi gian th× chuyÓn ®éng quay lµ
nhanh dÇn (γ > 0).
NÕu tèc ®é gãc ω gi¶m theo thêi gian th× chuyÓn
®éng quay lµ chËm dÇn (γ < 0).

5. VËn tèc vµ gia tèc cña c¸c ®iÓm trªn
vËt quay
ë líp 10, ta ®· biÕt gi÷a tèc ®é gãc ω vµ tèc ®é
dµi v cña mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn quü ®¹o trßn
cã b¸n kÝnh r, cã hÖ thøc :
v = ωr
(1.9)

C4 Dùa vµo sù tð¬ng øng gi÷a
c¸c ®¹i lðîng gãc trong chuyÓn
®éng quay biÕn ®æi ®Òu quanh
trôc cè ®Þnh víi c¸c ®¹i lðîng dµi
trong chuyÓn ®éng th¼ng biÕn
®æi ®Òu, h·y ®iÒn vµo c¸c « trèng
c«ng thøc tð¬ng tù ë cét bªn
c¹nh trong B¶ng 1.2

B¶ng 1.2
ChuyÓn ®éng quay ChuyÓn ®éng
(quanh trôc cè ®Þnh) th¼ng biÕn ®æi ®Òu
?

v = v0 + at

1
ϕ = ϕ0 + ω0t + γ t2
2

?

?

v − v02 = 2a (x −x0)
2

Khi vËt r¾n quay, mçi ®iÓm cña
vËt (trõ c¸c ®iÓm n»m trªn trôc
quay) ®Òu cã cïng ϕ, ω vµ γ. V× thÕ,
c¸c c«ng thøc trªn kh«ng nh÷ng
dïng ®ðîc cho vËt r¾n quay, xÐt vÒ
toµn bé, mµ cßn dïng ®ðîc cho c¶
mçi ®iÓm cña vËt ®ã.

NÕu vËt r¾n quay ®Òu th× mçi ®iÓm cña vËt
G
chuyÓn ®éng trßn ®Òu. Khi ®ã vect¬ vËn tèc v cña
mçi ®iÓm chØ thay ®æi vÒ hðíng mµ kh«ng thay ®æi
vÒ ®é lín, do ®ã mçi ®iÓm cña vËt cã gia tèc hðíng
t©m víi ®é lín ®ðîc x¸c ®Þnh bëi :
an =

v2
= ω 2r
r

(1.10)

NÕu vËt r¾n quay kh«ng ®Òu th× mçi ®iÓm cña
vËt còng chuyÓn ®éng trßn kh«ng ®Òu. Khi ®ã
G
vect¬ vËn tèc v cña mçi ®iÓm thay ®æi c¶ vÒ
hðíng lÉn ®é lín. Trong trðêng hîp nµy, vect¬ gia

H×nh 1.4 Khi vËt r¾n quay quanh
trôc cè ®Þnh, c¸c ®iÓm trªn vËt cã
cïng tèc ®é gãc. §iÓm nµo cµng ë
xa trôc quay th× cã tèc ®é dµi
cµng lín.

7

G
tèc a cña mçi ®iÓm cã hai thµnh phÇn (H×nh 1.6) :
G
G
− Thµnh phÇn an vu«ng gãc víi v , ®Æc trðng cho
G
sù thay ®æi vÒ hðíng cña v , thµnh phÇn nµy chÝnh
lµ gia tèc hðíng t©m.
H×nh 1.5 Mét ®Üa compact ®ang
quay ®Òu.

G
G
− Thµnh phÇn at cã phð¬ng cña v , ®Æc trðng cho
G
sù thay ®æi vÒ ®é lín cña v , ®ðîc gäi lµ gia tèc

C5 Trong H×nh 1.5, h·y so s¸nh
gia tèc hðíng t©m cña ®iÓm N
trªn vµnh ®Üa víi gia tèc hðíng
t©m cña ®iÓm M c¸ch trôc quay
mét kho¶ng c¸ch b»ng nöa b¸n
kÝnh cña ®Üa.

tiÕp tuyÕn :

C6 Khi vËt quay kh«ng ®Òu,

G G
G
a = an + at gäi lµ gia tèc cña ®iÓm chuyÓn
®éng trßn kh«ng ®Òu.
G
§é lín cña gia tèc a :

G
vect¬ gia tèc a cña mçi ®iÓm
trªn vËt r¾n cã ®Æc ®iÓm g× kh¸c
víi khi vËt quay ®Òu ?

at =

dv
= v ' = (rω )'
dt

at = rγ

Tõ ®ã :

a=

an2 + at2

(1.11)

(1.12)

G
Vect¬ gia tèc a hîp víi b¸n kÝnh OM gãc α, víi :
tan α =

at
γ
= 2
an ω

(1.13)

H×nh 1.6 VËt r¾n quay kh«ng ®Òu
quanh trôc ®i qua O, vu«ng gãc víi
mÆt ph¼ng h×nh vÏ.

c©u hái
1. Nªu sù tð¬ng øng gi÷a c¸c ®¹i lðîng gãc trong chuyÓn ®éng quay vµ c¸c ®¹i lðîng dµi trong
chuyÓn ®éng th¼ng.
2. ViÕt c¸c phð¬ng tr×nh cña chuyÓn ®éng quay biÕn ®æi ®Òu cña vËt r¾n quanh mét trôc cè ®Þnh.
3. ViÕt c«ng thøc tÝnh gia tèc tiÕp tuyÕn, gia tèc hðíng t©m cña mét ®iÓm chuyÓn ®éng trßn kh«ng ®Òu.

8

bµi tËp
1. Mét c¸nh qu¹t dµi 20 cm, quay víi tèc ®é gãc kh«ng ®æi lµ ω = 94 rad/s. Tèc ®é dµi cña mét ®iÓm
ë ®Çu ngoµi cña c¸nh qu¹t b»ng
A. 37,6 m/s.

B. 23,5 m/s.

C. 18,8 m/s.

D. 47 m/s.

2. Hai häc sinh A vµ B ®øng trªn chiÕc ®u quay trßn, A ë ngoµi r×a, B ë c¸ch t©m mét ®o¹n b»ng nöa
b¸n kÝnh cña ®u. Gäi ωA, ωB, γA, γB lÇn lðît lµ tèc ®é gãc vµ gia tèc gãc cña A vµ B.
KÕt luËn nµo sau ®©y lµ ®óng ?
A. ω A = ω B, γ A = γ B.

B. ω A > ω B, γ A > γ B.

C. ω A < ω B, γ A = 2γ B.

D. ω A = ω B, γ A > γ B.

3. Mét ®iÓm ë trªn vËt r¾n c¸ch trôc quay mét kho¶ng R. Khi vËt r¾n quay ®Òu quanh trôc, ®iÓm ®ã
cã tèc ®é dµi lµ v. Tèc ®é gãc cña vËt r¾n lµ
v
R
v2
A. ω = .
B. ω =
C. ω = vR .
D. ω = .
.
R
v
R
4. B¸nh ®µ cña mét ®éng c¬ tõ lóc khëi ®éng ®Õn lóc ®¹t tèc ®é gãc 140 rad/s ph¶i mÊt 2 s.
BiÕt ®éng c¬ quay nhanh dÇn ®Òu. Gãc quay cña b¸nh ®µ trong thêi gian trªn b»ng
A. 140 rad.

B. 70 rad.

C. 35 rad.

D. 35π rad.

5. Mét b¸nh xe quay nhanh dÇn ®Òu quanh trôc. Lóc t = 0 b¸nh xe cã tèc ®é gãc 5 rad/s. Sau 5 s,
tèc ®é gãc cña nã t¨ng lªn ®Õn 7 rad/s. Gia tèc gãc cña b¸nh xe lµ
A. 0,2 rad/s2.

B. 0,4 rad/s2.

C. 2,4 rad/s2.

D. 0,8 rad/s2.

6. R«to cña mét ®éng c¬ quay ®Òu, cø mçi phót quay ®ðîc 3 000 vßng. Trong 20 s, r«to quay ®ðîc
mét gãc b»ng bao nhiªu ?
7. C¸nh qu¹t cña m¸y ph¸t ®iÖn ch¹y b»ng søc giã dµi 4 m, quay ®Òu víi tèc ®é 45 vßng/phót.
TÝnh tèc ®é dµi t¹i mét ®iÓm n»m ë ®Çu ngoµi cña c¸nh qu¹t.
8. T¹i thêi ®iÓm t = 0, mét b¸nh xe ®¹p b¾t ®Çu quay quanh mét trôc víi gia tèc gãc kh«ng ®æi.
Sau 5 s nã quay ®ðîc mét gãc 25 rad. TÝnh tèc ®é gãc vµ gia tèc gãc cña b¸nh xe t¹i thêi ®iÓm
t = 5 s.

9

2

PH¦¥NG TR×NH §éNG LùC HäC CñA VËT r¾N
quay QUANH MéT TRôC Cè §ÞNH
Trong chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm, gi÷a gia tèc cña chÊt
®iÓm vµ lùc t¸c dông cã mèi liªn hÖ ®ðîc diÔn t¶ b»ng ®Þnh

G

JG

F
luËt II Niu-t¬n a =
. C©u hái ®Æt ra lµ trong chuyÓn ®éng
m
quay cña vËt r¾n, gi÷a gia tèc gãc vµ momen lùc cã mèi liªn
hÖ nhð thÕ nµo ?

C1 Khi dïng tay ®Èy (hoÆc kÐo)
c¸nh cöa, ta cã thÓ thay ®æi c¸c
yÕu tè nµo ®Ó lµm c¸nh cöa quay
cµng m¹nh ?

1. Mèi liªn hÖ gi÷a gia tèc gãc vµ momen lùc
a) Momen lùc ®èi víi mét trôc quay
JG
ë líp 10, ta ®· biÕt momen cña lùc F ®èi víi
JG
mét trôc quay (trong trðêng hîp lùc F n»m trong
mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc ®ã) cã ®é lín b»ng :
M = Fd

(2.1)

trong ®ã d lµ tay ®ßn cña lùc (kho¶ng c¸ch tõ
trôc quay ®Õn gi¸ cña lùc). §¬n vÞ cña momen
lùc lµ N.m.

H×nh 2.1 VËt r¾n gåm mét qu¶ cÇu
nhá khèi lðîng m g¾n vµo ®Çu mét
thanh rÊt nhÑ, cã ®é dµi r quay trªn
mÆt ph¼ng nh½n n»m ngang xung
quanh mét trôc th¼ng ®øng ®i qua
®Çu O cña thanh.

10

Ta chän chiÒu quay cña vËt lµm chiÒu dð¬ng vµ
quy ðíc momen lùc cã gi¸ trÞ dð¬ng nÕu nã cã t¸c
dông lµm vËt quay theo chiÒu ®· chän, cã gi¸ trÞ
©m nÕu nã cã t¸c dông lµm vËt quay theo chiÒu
ngðîc l¹i.
b) Mèi liªn hÖ gi÷a gia tèc gãc vµ momen lùc
Ta xÐt trðêng hîp ®¬n gi¶n nhÊt : VËt r¾n
gåm mét qu¶ cÇu nhá khèi lðîng m g¾n vµo ®Çu
mét thanh rÊt nhÑ, cã ®é dµi r. VËt chØ cã thÓ quay

trªn mÆt ph¼ng nh½n n»m ngang xung quanh
mét trôc th¼ng ®øng ®i qua ®Çu O cña thanh
(H×nh 2.1).
JG
T¸c dông vµo qu¶ cÇu mét lùc F t theo
phð¬ng
JG tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o trßn cña qu¶GcÇu.
Lùc F t g©y ra cho vËt gia tèc tiÕp tuyÕn at :

C2 V× sao chóng ta kh«ng quan t©m

G
®Õn lùc ph¸p tuyÕn Fn ?

Phð¬ng tr×nh (2.4) lµ d¹ng kh¸c cña
®Þnh luËt II Niu-t¬n, trong ®ã thay cho
lùc lµ momen lùc, thay cho gia tèc a lµ
gia tèc gãc γ.

(2.2)
Ft = mat
JG
Momen cña lùc F t ®èi víi trôc quay qua O :
M = Ft r

(2.3)

Thay (2.2) vµo (2.3) vµ chó ý r»ng at = rγ,
ta ®ðîc :
M = matr = m(rγ)r
M = (mr2)γ

(2.4)

B©y giê, ta h·y xÐt trðêng hîp vËt r¾n gåm
nhiÒu chÊt ®iÓm khèi lðîng mi, mj,... ë c¸ch
trôc quay nh÷ng kho¶ng c¸ch ri, rj,... kh¸c nhau
(H×nh 2.2).
Momen lùc t¸c dông lªn mçi chÊt ®iÓm liªn
hÖ víi gia tèc gãc b»ng phð¬ng tr×nh :
Mi = (mi ri2 ) γ
(2.5)
V× c¸c chÊt ®iÓm cña vËt r¾n cã cïng gia tèc
gãc, nªn tæng c¸c momen lùc t¸c dông lªn toµn bé
vËt r¾n liªn hÖ víi gia tèc gãc b»ng phð¬ng tr×nh :
M=

Σ Mi
i

⎛
2⎞
= ⎜ Σ mi ri ⎟ γ
⎝i
⎠

Trong sè c¸c lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt
®iÓm chØ cã mét sè lµ ngo¹i lùc, cßn l¹i lµ
néi lùc, tøc lµ lùc liªn kÕt gi÷a c¸c chÊt
®iÓm cña vËt r¾n. C¸c néi lùc lu«n xuÊt
hiÖn tõng cÆp trùc ®èi nhau nªn tæng ®¹i
sè momen cña c¸c néi lùc lu«n b»ng 0.
Do ®ã, trong phð¬ng tr×nh (2.6), M chØ lµ
tæng ®¹i sè momen cña c¸c ngo¹i lùc.

(2.6)
C3 Tõ phð¬ng tr×nh (2.6) ta cã thÓ rót
ra nhËn xÐt g× vÒ ý nghÜa vËt lÝ cña ®¹i

2. Momen qu¸n tÝnh
Phð¬ng tr×nh (2.6) cho thÊy víi cïng momen
lùc M t¸c dông, vËt r¾n nµo cã

H×nh 2.2 Trðêng hîp vËt r¾n gåm nhiÒu
chÊt ®iÓm khèi lðîng mi, mj,… ë c¸ch
trôc quay nh÷ng kho¶ng c¸ch r i , rj,…
kh¸c nhau.

Σ mi ri2
i

lðîng ∑ m ii
r2 ?
i

lín th×

gia tèc gãc γ nhá, nghÜa lµ trong chuyÓn ®éng
quay, vËt ®ã cã qu¸n tÝnh lín.

11

B¶ng 2.1
So s¸nh chuyÓn ®éng quay vµ chuyÓn
®éng tÞnh tiÕn.
M = Iγ
Momen lùc M
Gia tèc gãc

γ

Momen qu¸n tÝnh I

F = ma
Lùc
F
Gia tèc a
Khèi lðîng m

§¹i lðîng Σ mi ri2 ®Æc trðng cho møc qu¸n
i
tÝnh cña vËt quay vµ ®ðîc gäi lµ momen qu¸n
tÝnh, kÝ hiÖu lµ I. Momen qu¸n tÝnh I = Σ mi ri2
i

trong phð¬ng tr×nh (2.6) cã vai trß nhð khèi
lðîng m trong phð¬ng tr×nh F = ma.
Momen qu¸n tÝnh I ®èi víi mét trôc lµ ®¹i
lðîng ®Æc trðng cho møc qu¸n tÝnh cña vËt
r¾n trong chuyÓn ®éng quay quanh trôc Êy.
I = Σ mi ri2

(2.7)

i

§é lín cña momen qu¸n tÝnh cña mét vËt r¾n
kh«ng chØ phô thuéc khèi lðîng cña vËt r¾n mµ
cßn phô thuéc c¶ vµo sù ph©n bè khèi lðîng xa
hay gÇn trôc quay. Momen qu¸n tÝnh cã ®¬n vÞ
lµ kg.m2.
Ch¼ng h¹n, nÕu xem Tr¸i §Êt lµ mét vËt r¾n cã d¹ng mét
khèi cÇu ®ång chÊt víi b¸n kÝnh trung b×nh lµ 6 400 km vµ
khèi lðîng xÊp xØ 6,0.1024 kg th× momen qu¸n tÝnh cña
Tr¸i §Êt ®èi víi trôc quay ®i qua t©m cña nã ®ðîc tÝnh
nhð sau :
2
I = mR 2
5
2
= .6,0.10 24.(6,4.10 6 ) 2 = 9,8.10 37 kg.m 2
5

3. Phð¬ng tr×nh ®éng lùc häc cña vËt
r¾n quay quanh mét trôc cè ®Þnh
Víi kh¸i niÖm momen qu¸n tÝnh, ta viÕt l¹i
phð¬ng tr×nh (2.6) nhð sau :
H×nh 2.3 Momen qu¸n tÝnh cña mét sè
vËt ®ång chÊt ®èi víi trôc ®èi xøng Δ ; m
lµ khèi lðîng cña vËt.

12

M = Iγ

(2.8)

Phð¬ng tr×nh (2.8) lµ phð¬ng tr×nh ®éng lùc
häc cña vËt r¾n quay quanh mét trôc cè ®Þnh.
§©y lµ phð¬ng tr×nh c¬ b¶n cña chuyÓn ®éng
quay cña vËt r¾n.

4. Bµi tËp vÝ dô
Mét thïng nðíc ®ðîc th¶ xuèng giÕng nhê mét sîi
d©y dµi quÊn quanh mét h×nh trô cã b¸n kÝnh R vµ
momen qu¸n tÝnh I. Khèi lðîng cña d©y vµ momen
qu¸n tÝnh cña tay quay kh«ng ®¸ng kÓ. H×nh trô coi nhð
quay tù do kh«ng ma s¸t quanh mét trôc cè ®Þnh
(H×nh 2.4). Gi¶ thiÕt d©y kh«ng d·n vµ kh«ng trðît trªn
h×nh trô khi quay. Khèi lðîng cña thïng nðíc lµ m.
TÝnh gia tèc cña thïng nðíc.
Bµi gi¶i
¸p dông ®Þnh luËt II Niu-t¬n cho chuyÓn ®éng
tÞnh tiÕn cña thïng nðíc, ta cã :
mg – T = ma

H×nh 2.4

(1)

T lµ lùc c¨ng cña sîi d©y, a lµ gia tèc cña thïng nðíc.
¸p dông phð¬ng tr×nh ®éng lùc häc cho chuyÓn
®éng quay cña h×nh trô, ta cã :
M = TR = Iγ

(2)

Do d©y kh«ng d·n vµ kh«ng trðît trªn h×nh trô
nªn gi÷a gia tèc cña thïng nðíc vµ gia tèc gãc cña
mét ®iÓm trªn vµnh h×nh trô cã hÖ thøc :
a
(3)
γ =
R
Tõ (2), suy ra :
Iγ
Ia
= 2
T=
(4)
R
R
Thay T tõ (4) vµo (1), ta ®ðîc :
Ia
mg – 2 = ma
R
Suy ra :
mg
1
a=
g
=
I
I ⎞
⎛
m+ 2
⎜1 +
⎟
R
mR 2 ⎠
⎝

H×nh 2.5 C¸c lùc t¸c dông lªn mçi
vËt trong hÖ.

Ph©n tÝch bµi to¸n

– ChuyÓn ®éng cña thïng nðíc
lµ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn.

– ChuyÓn ®éng cña h×nh trô lµ
chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc
cè ®Þnh.

– Gia tèc tÞnh tiÕn cña thïng vµ
gia tèc gãc cña h×nh trô liªn hÖ nhau
a
b»ng hÖ thøc : γ = .
R

c©u hái
1. ViÕt biÓu thøc vµ nªu ý nghÜa cña momen qu¸n tÝnh cña mét vËt r¾n ®èi víi chuyÓn ®éng quay.
2. ViÕt phð¬ng tr×nh ®éng lùc häc cña vËt r¾n quay quanh mét trôc cè ®Þnh vµ lÝ gi¶i v× sao cã thÓ gäi
phð¬ng tr×nh nµy lµ phð¬ng tr×nh c¬ b¶n cña chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n.

13

bµi tËp
1. Mét momen lùc kh«ng ®æi t¸c dông vµo mét vËt cã trôc quay cè ®Þnh. Trong nh÷ng ®¹i lðîng dðíi
®©y, ®¹i lðîng nµo kh«ng ph¶i lµ mét h»ng sè ?
A. Momen qu¸n tÝnh.

B. Gia tèc gãc.

C. Khèi lðîng.

D. Tèc ®é gãc.

2. Hai chÊt ®iÓm cã khèi lðîng 1 kg vµ 2 kg ®ðîc g¾n ë hai ®Çu cña mét thanh nhÑ cã ®é dµi 1 m.
Momen qu¸n tÝnh cña hÖ ®èi víi trôc quay ®i qua trung ®iÓm cña thanh vµ vu«ng gãc víi thanh
cã gi¸ trÞ
A. 1,5 kg.m2.

B. 0,75 kg.m2.

C. 0,5 kg.m2.

D. 1,75 kg.m2.

3. Momen qu¸n tÝnh cña mét vËt r¾n kh«ng phô thuéc vµo
A. khèi lðîng cña vËt.

B. tèc ®é gãc cña vËt.

C. kÝch thðíc vµ h×nh d¹ng cña vËt.

D. vÞ trÝ trôc quay cña vËt.

4. Ph¸t biÓu nµo sau ®©y kh«ng ®óng ®èi víi chuyÓn ®éng quay ®Òu cña vËt r¾n quanh mét trôc ?
A. Tèc ®é gãc lµ mét hµm bËc nhÊt ®èi víi thêi gian.
B. Gia tèc gãc cña vËt b»ng 0.
C. Trong nh÷ng kho¶ng thêi gian b»ng nhau, vËt quay ®ðîc nh÷ng gãc b»ng nhau.
D. Phð¬ng tr×nh chuyÓn ®éng lµ mét hµm bËc nhÊt ®èi víi thêi gian.
5. Mét cËu bÐ ®Èy mét chiÕc ®u quay cã ®ðêng kÝnh 4 m víi mét lùc 60 N ®Æt t¹i vµnh cña chiÕc ®u
theo phð¬ng tiÕp tuyÕn. Momen lùc t¸c dông vµo ®u quay cã gi¸ trÞ
A. 30 N.m.

B. 15 N.m.

C. 240 N.m.

D. 120 N.m.

6. Mét ®Üa trßn ®ång chÊt cã b¸n kÝnh R = 0,5 m, khèi lðîng m = 1 kg. TÝnh momen qu¸n tÝnh cña ®Üa
®èi víi trôc vu«ng gãc víi mÆt ®Üa t¹i t©m O cña ®Üa.
7. Mét rßng räc cã b¸n kÝnh 20 cm, cã momen qu¸n tÝnh 0,04 kg.m2 ®èi víi trôc cña nã. Rßng räc chÞu
t¸c dông bëi mét lùc kh«ng ®æi 1,2 N tiÕp tuyÕn víi vµnh. Lóc ®Çu rßng räc ®øng yªn. TÝnh tèc ®é
gãc cña rßng räc sau khi quay ®ðîc 5 s. Bá qua mäi lùc c¶n.
8. Mét b¸nh xe cã momen qu¸n tÝnh ®èi víi trôc quay cè ®Þnh lµ 6 kg.m2, ®ang ®øng yªn th× chÞu t¸c
dông cña mét momen lùc 30 N.m ®èi víi trôc quay. Bá qua mäi lùc c¶n. Sau bao l©u, kÓ tõ khi b¾t
®Çu quay, b¸nh xe ®¹t tíi tèc ®é gãc 100 rad/s ?

14

3

MOMEN §éNG L¦îNG
§ÞNH LUËT B¶O TOµN MOMEN §éNG L¦îNG
C¸c vËn ®éng viªn nh¶y cÇu
®ang biÓu diÔn c¸c tð thÕ xo¾n
ngðêi thËt ngo¹n môc. Ta h·y t×m
hiÓu v× sao khi nh¶y tõ v¸n cÇu
xuèng nðíc, hä thðêng thùc hiÖn
®éng t¸c gËp ngðêi vµ bã gèi thËt
chÆt lóc xoay ngðêi ë trªn kh«ng.
Sau ®ã, hä ph¶i lµm thÕ nµo ®Ó
ngõng quay vµ lao m×nh vµo trong
nðíc ?

1. Momen ®éng lðîng
a) D¹ng kh¸c cña phð¬ng tr×nh ®éng lùc häc
cña vËt r¾n quay quanh mét trôc cè ®Þnh
Ta ®· biÕt phð¬ng tr×nh ®éng lùc häc cña vËt r¾n
quay quanh mét trôc cè ®Þnh cã d¹ng :
M = Iγ
hay

M=I

dω
dt

C1 So s¸nh phð¬ng tr×nh (3.3)
víi phð¬ng tr×nh :
F = ma = m

trong ®ã p = mv lµ ®éng lðîng
cña chÊt ®iÓm, ta cã thÓ rót ra
nhËn xÐt g× vÒ ý nghÜa vËt lÝ cña
®¹i lðîng L = Iω ?

Trong trðêng hîp momen qu¸n tÝnh I kh«ng ®æi,
ta cã thÓ viÕt :
d( Iω )
(3.1)
M=
dt
§Æt :

B¶ng 3.1
So s¸nh chuyÓn ®éng quay cña vËt
r¾n vµ chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm.
M =

L = Iω

(3.2)

th× phð¬ng tr×nh ®éng lùc häc cña vËt r¾n quay
quanh mét trôc cè ®Þnh ®ðîc viÕt dðíi d¹ng :
M=

dL
dt

dv d(m v) dp
=
=
dt
dt
dt

(3.3)

dL
dt

Momen lùc M
Tèc ®é gãc ω
Momen qu¸n tÝnh I
Momen ®éng lðîng :
L = Iω

F =

dp
dt

Lùc F
Tèc ®é dµi v
Khèi lðîng m
§éng lðîng :
p = mv

15

C2 Mét qu¶ bowling (d¹ng mét
qu¶ cÇu ®Æc) cã momen qu¸n tÝnh
®èi víi trôc ®èi xøng cña nã lµ
0,06 kg.m2 (H×nh 3.1). TÝnh momen
®éng lðîng cña qu¶ bowling ®èi víi
trôc quay ®i qua t©m cña nã t¹i
thêi ®iÓm mµ nã cã tèc ®é gãc lµ
40 rad/s.

Phð¬ng tr×nh (3.3) còng ®óng cho c¶ trðêng
hîp momen qu¸n tÝnh cña vËt hoÆc cña hÖ thay
®æi (do vËt thay ®æi h×nh d¹ng ch¼ng h¹n).
b) Momen ®éng lðîng
§¹i lðîng L = Iω trong chuyÓn ®éng quay
tð¬ng øng víi ®éng lðîng p = mv trong chuyÓn
®éng tÞnh tiÕn. V× thÕ, ta gäi L = Iω lµ momen
®éng lðîng cña vËt r¾n ®èi víi trôc quay.
§¬n vÞ cña momen ®éng lðîng lµ kg.m2/s.

H×nh 3.1 ChuyÓn ®éng cña qu¶ bowling.

Ta gi¶ thiÕt coi Tr¸i §Êt nhð lµ mét vËt r¾n cã d¹ng mét
khèi cÇu ®ång chÊt, momen qu¸n tÝnh cña Tr¸i §Êt ®èi víi
trôc quay ®i qua t©m cña nã lµ 9,8.1037 kg.m2, chu k× cña
chuyÓn ®éng quay quanh trôc lµ 24 h. Momen ®éng lðîng
cña Tr¸i §Êt trong chuyÓn ®éng quay quanh trôc cña nã
®ðîc tÝnh nhð sau :
2π
2π
L = Iω = I
= 9,8.10 37.
T
24.3600
= 7,1.1033 kg.m2/s

2. §Þnh luËt b¶o toµn momen ®éng lðîng
Tõ phð¬ng tr×nh (3.3), nÕu M =
L = h»ng sè
C3 Dùa vµo ®Þnh luËt b¶o toµn
momen ®éng lðîng, h·y gi¶i thÝch
sù kh¸c biÖt cña chuyÓn ®éng quay
ë hai tð thÕ trªn H×nh 3.2.

dL
= 0 th× :
dt

(3.4)

§ã lµ néi dung cña ®Þnh luËt b¶o toµn momen
®éng lðîng, ®ðîc ph¸t biÓu nhð sau :
NÕu tæng c¸c momen lùc t¸c dông lªn mét
vËt r¾n (hay hÖ vËt) ®èi víi mét trôc cè ®Þnh
b»ng 0 th× tæng momen ®éng lðîng cña vËt r¾n
(hay hÖ vËt) ®èi víi trôc ®ã ®ðîc b¶o toµn.
Trong trðêng hîp vËt cã momen qu¸n tÝnh ®èi
víi trôc quay kh«ng ®æi th× vËt kh«ng quay hoÆc
quay ®Òu quanh trôc ®ã.

H×nh 3.2 Ngðêi ®øng trªn bµn xoay
®ang quay.

16

Trong trðêng hîp vËt (hoÆc hÖ vËt) cã momen
qu¸n tÝnh ®èi víi trôc quay thay ®æi, ta cã
Iω = h»ng sè. Tõ ®ã, suy ra :
I1ω1 = I2 ω2

(3.5)

trong ®ã I1ω1 lµ momen ®éng lðîng cña vËt (hoÆc
hÖ vËt) lóc trðíc vµ I2ω2 lµ momen ®éng lðîng cña
vËt (hoÆc hÖ vËt) lóc sau.

C4 H·y tr¶ lêi c©u hái nªu ë
phÇn më bµi.

c©u hái
1. Ph¸t biÓu ®Þnh luËt b¶o toµn momen ®éng lðîng.
2. C¸c vËn ®éng viªn nh¶y cÇu khi nh¶y tõ v¸n cÇu xuèng nðíc cã ®éng t¸c "bã gèi" thËt chÆt lóc ë
trªn kh«ng. Gi¶i thÝch t¹i sao lµm nhð thÕ l¹i t¨ng tèc ®é quay.

bµi tËp
1. Mét vËt cã momen qu¸n tÝnh ®èi víi trôc quay cè ®Þnh lµ 0,72 kg.m2, quay ®Òu 10 vßng trong
1,8 s. Momen ®éng lðîng cña vËt ®èi víi trôc quay ®ã cã ®é lín b»ng
A. 4 kg.m2/s.

B. 8 kg.m2/s.

C. 13 kg.m2/s.

D. 25 kg.m2/s.

2. Hai ®Üa trßn cã momen qu¸n tÝnh I1 vµ I2 ®ang quay ®ång trôc vµ cïng chiÒu víi tèc ®é gãc ω1 vµ
ω2 (H×nh 3.3). Ma s¸t ë trôc quay nhá kh«ng ®¸ng kÓ. Sau ®ã cho hai ®Üa dÝnh vµo nhau, hÖ hai
®Üa quay víi tèc ®é gãc ω ®ðîc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc
A. ω =

I1 + I2 .
I1ω1 + I2ω2

B. ω =

I1ω1 + I2ω2 .
I1 + I2

C. ω =

I1ω2 + I2ω1 .
I1 + I2

D. ω =

I1ω1 − I2ω2 .
I1 + I2
H×nh 3.3

3. Mét ngðêi ®øng trªn mét chiÕc ghÕ ®ang quay, hai tay cÇm hai qu¶ t¹. Khi ngðêi Êy dang tay theo
phð¬ng ngang, ghÕ vµ ngðêi quay víi tèc ®é gãc ω1. Ma s¸t ë trôc quay nhá kh«ng ®¸ng kÓ.
Sau ®ã, ngðêi Êy co tay l¹i kÐo hai qu¶ t¹ vµo gÇn s¸t vai. Tèc ®é gãc míi cña hÖ “ngðêi + ghÕ”
A. t¨ng lªn.

B. gi¶m ®i.

C. lóc ®Çu t¨ng, sau ®ã gi¶m dÇn ®Õn 0.

D. lóc ®Çu gi¶m, sau ®ã b»ng 0.

4. Mét ®Üa trßn ®ång chÊt cã b¸n kÝnh R = 0,5 m, khèi lðîng m = 1 kg quay ®Òu víi tèc ®é gãc
ω = 6 rad/s quanh mét trôc th¼ng ®øng ®i qua t©m cña ®Üa. TÝnh momen ®éng lðîng cña ®Üa ®èi
víi trôc quay ®ã.

17

Em cã biÕt ?
§Þnh luËt b¶o toµn momen ®éng lðîng
¸p dông cho m¸y bay trùc th¨ng
Khi c¸nh qu¹t quay, chóng cã mét momen ®éng lðîng ®èi víi trôc quay. Th©n m¸y bay
cã xu hðíng quay theo chiÒu ngðîc l¹i, t¹o ra momen ®éng lðîng ngðîc dÊu. Muèn cho th©n
m¸y bay kh«ng quay, ngðêi ta ®Æt thªm mét c¸nh qu¹t n÷a quay theo chiÒu ngðîc l¹i, lµm
thµnh hÖ thèng kÐp (H×nh 3.4a), hoÆc thªm mét c¸nh qu¹t nhá ë phÝa sau cã mÆt ph¼ng quay
th¼ng ®øng (H×nh 3.4b), t¹o ra mét momen ®éng lðîng c©n b»ng víi momen ®éng lðîng cña
c¸nh qu¹t trðíc.

a) Lo¹i m¸y bay trùc th¨ng cã hai hÖ thèng c¸nh qu¹t.

b) Lo¹i m¸y bay trùc th¨ng cã thªm c¸nh qu¹t nhá ë
phÝa sau.
H×nh 3.4

18

4

§éNG N¡NG CñA VËT R¾N
QUAY QUANH MéT TRôC Cè §ÞNH
Trong bµi nµy, ta sÏ t×m biÓu thøc tÝnh
®éng n¨ng cña mét vËt r¾n quay quanh mét
trôc cè ®Þnh nhð chuyÓn ®éng quay cña b¸nh
®µ, ch¼ng h¹n.

B¸nh ®µ ®ðîc dïng ®Ó tÝch tr÷ vµ cung cÊp
®éng n¨ng quay trong c¸c ®éng c¬ ®èt trong.

1. §éng n¨ng cña mét vËt r¾n quay quanh
mét trôc cè ®Þnh
XÐt mét vËt r¾n quay quanh mét trôc cè ®Þnh Oz
(H×nh 4.1).
Ta tðëng tðîng vËt gåm nhiÒu chÊt ®iÓm. Khi vËt
quay víi tèc ®é gãc ω th× tÊt c¶ c¸c chÊt ®iÓm cña
vËt ®Òu chuyÓn ®éng trªn nh÷ng ®ðêng trßn cã t©m
n»m trªn trôc quay víi cïng tèc ®é gãc ω. ChÊt
®iÓm i cña vËt cã khèi lðîng mi vµ c¸ch trôc quay
mét kho¶ng ri th× cã tèc ®é dµi vi = ωri vµ cã ®éng
1
1
n¨ng lµ mivi2 = mi (ωri )2 .
2
2
§éng n¨ng cña vËt r¾n lµ tæng ®éng n¨ng cña tÊt
c¶ c¸c chÊt ®iÓm t¹o nªn vËt :
1
ω2
2
∑ mi ri2
W® = ∑ mi (ωri ) =
2 i
i 2
hay

W® =

1 2
Iω
2

(4.1)

trong ®ã I lµ momen qu¸n tÝnh cña vËt r¾n ®èi víi
trôc quay.

H×nh 4.1

C1 Nªu nhËn xÐt vÒ vai trß cña
momen qu¸n tÝnh I trong biÓu
thøc (4.1).
C2 Chøng minh r»ng ®éng
n¨ng cña mét vËt r¾n quay
quanh trôc cè ®Þnh cã thÓ viÕt
L2
dðíi d¹ng W® =
, trong ®ã I
2I
vµ L lÇn lðît lµ momen qu¸n tÝnh
vµ momen ®éng lðîng cña vËt
®èi víi trôc quay ®ã.

19

Ngðêi ta ®· chøng minh ®ðîc r»ng, ®Þnh
lÝ biÕn thiªn ®éng n¨ng còng ¸p dông ®ðîc
cho mét vËt r¾n quay quanh mét trôc :
1
1
ΔW® = Iω22 − I ω12 = A
2
2

§é biÕn thiªn ®éng n¨ng cña mét vËt
b»ng tæng c«ng cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông
vµo vËt.

2. Bµi tËp ¸p dông
Mét vËn ®éng viªn trðît b¨ng quay quanh
mét trôc th¼ng ®øng víi tèc ®é gãc 15 rad/s
víi hai tay dang ra, momen qu¸n tÝnh cña
ngðêi lóc nµy ®èi víi trôc quay lµ 1,8 kg.m2.
Sau ®ã, ngðêi nµy ®ét ngét thu tay l¹i däc theo
th©n ngðêi, trong kho¶ng thêi gian nhá tíi
møc cã thÓ bá qua ¶nh hðëng cña ma s¸t víi
mÆt b¨ng. Momen qu¸n tÝnh cña ngðêi lóc ®ã
gi¶m ®i ba lÇn so víi lóc ®Çu (H×nh 4.2).
TÝnh ®éng n¨ng cña ngðêi ®ã lóc ®Çu vµ lóc
cuèi.
Bµi gi¶i
§éng n¨ng lóc ®Çu :
W® (®Çu) =

H×nh 4.2

1
1
I1ω12 = .1,8.152 = 202,5 J
2
2

Theo ®Þnh luËt b¶o toµn momen ®éng lðîng :
I2ω2 = I1 ω1 ⇒ ω2 = 3 ω1

Ph©n tÝch bµi to¸n
− Khi vËn ®éng viªn thay ®æi tð thÕ th×
momen qu¸n tÝnh ®èi víi trôc quay cña
ngðêi Êy thay ®æi.
− V× tæng momen cña c¸c ngo¹i lùc t¸c
dông lªn hÖ b»ng 0, nªn nÕu momen qu¸n
tÝnh cña ngðêi ®èi víi trôc quay gi¶m th×
theo ®Þnh luËt b¶o toµn momen ®éng lðîng
tèc ®é gãc lóc cuèi cña ngðêi ®ã sÏ t¨ng.

§éng n¨ng lóc cuèi lµ :
1
1 I
W® (cuèi) = I2ω22 = . 1 (3ω1 )2 = 3W® (®Çu)
2
2 3

= 3.202,5 = 607,5 J

c©u hái
1. ViÕt c«ng thøc tÝnh ®éng n¨ng cña mét vËt r¾n quay quanh mét trôc cè ®Þnh.
2. Nªu nhËn xÐt vÒ vai trß cña momen qu¸n tÝnh trong c«ng thøc tÝnh ®éng n¨ng quay.

20

bµi tËp
1. Mét b¸nh ®µ cã momen qu¸n tÝnh ®èi víi trôc quay cè ®Þnh lµ 2,5 kg.m2, quay ®Òu víi tèc ®é
gãc 8 900 rad/s. §éng n¨ng quay cña b¸nh ®µ b»ng
A. 9,1.108 J.

B. 11 125 J.

C. 9,9.107 J.

D. 22 250 J.

2. Mét ®Üa trßn cã momen qu¸n tÝnh I, ®ang quay quanh mét trôc cè ®Þnh víi tèc ®é gãc ω0. Ma s¸t
ë trôc quay nhá kh«ng ®¸ng kÓ. NÕu tèc ®é gãc cña ®Üa gi¶m ®i hai lÇn th× momen ®éng lðîng vµ
®éng n¨ng quay cña ®Üa ®èi víi trôc quay thay ®æi thÕ nµo ?
Momen ®éng lðîng

§éng n¨ng quay

A.

T¨ng bèn lÇn

T¨ng hai lÇn

B.

Gi¶m hai lÇn

T¨ng bèn lÇn

C.

T¨ng hai lÇn

Gi¶m hai lÇn

D.

Gi¶m hai lÇn

Gi¶m bèn lÇn

3. Hai ®Üa trßn cã cïng momen qu¸n tÝnh ®èi víi cïng trôc quay ®i
qua t©m cña c¸c ®Üa (H×nh 4.3). Lóc ®Çu, ®Üa 2 (ë phÝa trªn) ®ang
®øng yªn, ®Üa 1 quay víi tèc ®é gãc ω0. Ma s¸t ë trôc quay nhá
kh«ng ®¸ng kÓ. Sau ®ã, cho hai ®Üa dÝnh vµo nhau, hÖ quay víi
tèc ®é gãc ω. §éng n¨ng cña hÖ hai ®Üa lóc sau so víi lóc ®Çu
A. t¨ng ba lÇn.

B. gi¶m bèn lÇn.

C. t¨ng chÝn lÇn.

D. gi¶m hai lÇn.

H×nh 4.3

I
4. Hai b¸nh xe A vµ B cã cïng ®éng n¨ng quay, tèc ®é gãc ωA = 3ωB. TØ sè momen qu¸n tÝnh B
IA
®èi víi trôc quay ®i qua t©m cña A vµ B cã gi¸ trÞ nµo sau ®©y ?

A. 3.

B. 9.

C. 6.

D. 1.

5. Mét ®Üa trßn ®ång chÊt cã b¸n kÝnh R = 0,5 m, khèi lðîng m = 1 kg quay ®Òu víi tèc ®é gãc
ω = 6 rad/s quanh mét trôc vu«ng gãc víi mÆt ®Üa vµ ®i qua t©m cña ®Üa. TÝnh ®éng n¨ng cña ®Üa.
6. Mét rßng räc cã momen qu¸n tÝnh ®èi víi trôc quay cè ®Þnh lµ 10 kg.m2, quay ®Òu víi tèc ®é
60 vßng/phót. TÝnh ®éng n¨ng quay cña rßng räc.
7. Mét b¸nh ®µ quay nhanh dÇn ®Òu tõ tr¹ng th¸i nghØ vµ sau 5 s th× cã tèc ®é gãc 200 rad/s vµ cã
®éng n¨ng quay lµ 60 kJ. TÝnh gia tèc gãc vµ momen qu¸n tÝnh cña b¸nh ®µ ®èi víi trôc quay.

21

5

BµI TËP VÒ §éNG LùC HäC VËT R¾N
Phð¬ng ph¸p gi¶i to¸n vÒ chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n tð¬ng tù nhð phð¬ng
ph¸p gi¶i to¸n vÒ chuyÓn ®éng cña mét chÊt ®iÓm. Trðíc hÕt, chóng ta x¸c ®Þnh râ
®èi tðîng cÇn kh¶o s¸t lµ vËt hay hÖ vËt nµo, lùc vµ momen lùc tð¬ng øng nµo t¸c
dông vµo vËt hay hÖ vËt.
Tõ phð¬ng tr×nh ®éng lùc häc cña vËt r¾n quay quanh mét trôc, ta cã thÓ
tÝnh ®ðîc ®¹i lðîng vËt lÝ cÇn t×m (gia tèc, khèi lðîng, momen qu¸n tÝnh, lùc,
momen lùc,...).

Ph©n tÝch bµi to¸n
a) ChuyÓn ®éng cña b¸nh xe
gåm hai giai ®o¹n :
− Giai ®o¹n ®Çu (10 s ®Çu) :
quay nhanh dÇn ®Òu.
− Giai ®o¹n cuèi (30 s cuèi) :
quay chËm dÇn ®Òu.
Mms = 0, 25M1 = 0, 25.20 = 5 N.m

V× lùc ma s¸t t¹o momen c¶n
lµm gi¶m tèc ®é gãc, nªn :
Mms = −5 N.m

b) §Ó tÝnh momen qu¸n tÝnh cña
b¸nh xe, ta dïng phð¬ng tr×nh :
M = Iγ
trong ®ã M lµ tæng momen lùc t¸c
dông vµo b¸nh xe (giai ®o¹n quay
nhanh dÇn).
M = M1 + Mms

BiÕt gia tèc gãc γ1 cña giai ®o¹n
quay nhanh dÇn, ta tÝnh ®ðîc I.
C¸ch kh¸c : XÐt giai ®o¹n quay
chËm dÇn, ta còng tÝnh ®ðîc I.
I =

22

Mms
−5
=
= 10 kg.m 2
γ2
− 0,5

Bµi tËp 1
Mét b¸nh xe ®¹p chÞu t¸c dông cña mét momen
lùc M1 kh«ng ®æi lµ 20 N.m. Trong 10 s ®Çu, tèc ®é
gãc cña b¸nh xe t¨ng ®Òu tõ 0 ®Õn 15 rad/s. Sau ®ã
momen M1 ngõng t¸c dông, b¸nh xe quay chËm dÇn
®Òu vµ dõng h¼n l¹i sau 30 s. Cho biÕt momen cña
lùc ma s¸t cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi trong suèt thêi gian
b¸nh xe quay vµ b»ng 0,25M1.
a) TÝnh gia tèc gãc cña b¸nh xe trong c¸c giai
®o¹n quay nhanh dÇn ®Òu vµ chËm dÇn ®Òu.
b) TÝnh momen qu¸n tÝnh cña b¸nh xe ®èi
víi trôc.
c) TÝnh ®éng n¨ng quay cña b¸nh xe ë ®Çu giai
®o¹n quay chËm dÇn ®Òu.
Bµi gi¶...