(T¸i b¶n lÇn thø s¸u)

Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc viÖt nam

CÊu tróc c¸c trang s¸ch gi¸o khoa
1. PhÇn néi dung bµi häc gåm c¸c trang in thµnh hai cét : mét cét
lµ néi dung chÝnh cña bµi häc, cét cßn l¹i ch÷ nhá, tr×nh bµy c¸c
h×nh vÏ, tranh, ¶nh, biÓu b¶ng, ®å thÞ, c¸c néi dung thø yÕu, c¸c
c©u hái (kÝ hiÖu C ) ®Ó gi¸o viªn vµ häc sinh cïng tham gia x©y
dùng bµi häc. Tuy nhiªn, víi c¸c h×nh, ®å thÞ,... cã kÝch thðíc lín
th× in trµn trang.
2. Sau phÇn néi dung bµi häc lµ phÇn tãm t¾t bµi häc, ®ðîc in ®Ëm.
Cuèi mçi bµi häc lµ phÇn c©u hái (kÝ hiÖu
) vµ bµi tËp (kÝ hiÖu )
®Ó häc sinh lµm ë nhµ. PhÇn ®¸p ¸n vµ ®¸p sè bµi tËp ®ðîc in ë cuèi
cuèn s¸ch.

3. Sau mét sè bµi häc cã bµi ®äc thªm.

B¶n quyÒn thuéc Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam − Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o.

01-2014/CXB/491-1062/GD

M… sè : CH205T4

CH¦¥NG I

Dao ®éng c¬

Cèc vì do hiÖn tðîng céng hðëng.

C¸c m« h×nh c¬ häc cña dao ®éng ®iÒu hoµ : con l¾c lß xo, con l¾c ®¬n.
C¸c ®Æc trðng cña dao ®éng ®iÒu hoµ.
Dao ®éng t¾t dÇn. Dao ®éng cðìng bøc. Céng hðëng.
Vect¬ quay. Phð¬ng ph¸p gi¶n ®å Fre-nen.

3

1

dao ®éng ®iÒu hoµ
I

- DAO §éng c¬

1. ThÕ nµo lµ dao ®éng c¬ ?
ChiÕc thuyÒn nhÊp nh« t¹i chç neo, d©y ®µn
ghita rung ®éng, mµng trèng rung ®éng,... lµ nh÷ng
vÝ dô vÒ vËt dao ®éng mµ ta thðêng gÆp trong ®êi
sèng h»ng ngµy.
Quan s¸t chuyÓn ®éng cña c¸c vËt Êy, ta thÊy chóng
®Òu chuyÓn ®éng qua l¹i quanh mét vÞ trÝ ®Æc biÖt,
gäi lµ vÞ trÝ c©n b»ng. §ã thðêng lµ vÞ trÝ cña vËt khi
®øng yªn. ChuyÓn ®éng nhð vËy gäi lµ dao ®éng c¬.
2. Dao ®éng tuÇn hoµn
Dao ®éng c¬ cña mét vËt cã thÓ lµ tuÇn hoµn
hoÆc kh«ng tuÇn hoµn. NÕu sau nh÷ng kho¶ng thêi
gian b»ng nhau, vËt trë l¹i vÞ trÝ cò theo hðíng cò
th× dao ®éng cña vËt ®ã lµ tuÇn hoµn. Con l¾c ®ång
hå dao ®éng tuÇn hoµn, trong khi chiÕc thuyÒn th×
dao ®éng kh«ng tuÇn hoµn.
Dao ®éng tuÇn hoµn cã thÓ cã møc ®é phøc t¹p
kh¸c nhau tuú theo vËt hay hÖ vËt dao ®éng. Dao
®éng tuÇn hoµn ®¬n gi¶n nhÊt lµ dao ®éng ®iÒu hoµ.
II - phð¬ng tr×nh cña Dao ®éng ®iÒu hoµ

1. VÝ dô

H×nh 1.1

4

Gi¶ sö cã mét ®iÓm M chuyÓn ®éng trßn ®Òu trªn
mét ®ðêng trßn theo chiÒu dð¬ng (ngðîc chiÒu
quay cña kim ®ång hå) víi tèc ®é gãc ω (H.1.1).
Gäi P lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn trôc Ox trïng
víi mét ®ðêng kÝnh cña ®ðêng trßn vµ cã gèc trïng
víi t©m O cña ®ðêng trßn. Ta thÊy ®iÓm P dao ®éng
trªn trôc Ox quanh gèc to¹ ®é O. Ta h·y xÐt xem
dao ®éng cña ®iÓm P cã nh÷ng ®Æc ®iÓm g×.

Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu (t = 0), ®iÓm M ë vÞ
trÝ M0, ®ðîc x¸c ®Þnh b»ng gãc P1OM0 = ϕ (rad).
Sau t gi©y, tøc lµ t¹i thêi ®iÓm t, nã chuyÓn ®éng ®Õn
vÞ trÝ M ®ðîc x¸c ®Þnh bëi gãc P1OM = (ωt + ϕ)
(H.1.1). Khi Êy, to¹ ®é x = OP cña ®iÓm P cã
phð¬ng tr×nh lµ :
x = OMcos(ω t + ϕ )
§Æt OM = A, phð¬ng tr×nh cña to¹ ®é x ®ðîc
viÕt thµnh :
x = Acos(ω t + ϕ )

(1.1)

trong ®ã A, ω, vµ ϕ lµ c¸c h»ng sè.
V× hµm sin hay c«sin lµ mét hµm ®iÒu hoµ, nªn dao
®éng cña ®iÓm P ®ðîc gäi lµ dao ®éng ®iÒu hoµ.
C1

C1 Gäi Q lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm
M chuyÓn ®éng trßn ®Òu lªn trôc y
(H.1.2). Chøng minh r»ng ®iÓm Q
dao ®éng ®iÒu hoµ.

2. §Þnh nghÜa
B©y giê ta xÐt mét vËt nhá chÞu t¸c dông cña c¸c
lùc vµ chuyÓn ®éng gièng hÖt ®iÓm P. Khi Êy, ta nãi vËt
dao ®éng quanh gèc to¹ ®é O. Cßn to¹ ®é x ®ðîc gäi lµ
li ®é x cña vËt, v× nã cho biÕt ®é lÖch vµ chiÒu lÖch cña
vËt ra khái gèc to¹ ®é (H.1.3). Tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa :
Dao ®éng ®iÒu hoµ lµ dao ®éng trong ®ã li ®é
cña vËt lµ mét hµm c«sin (hay sin) cña thêi gian.
3. Phð¬ng tr×nh

H×nh 1.2

Phð¬ng tr×nh x = Acos(ωt + ϕ) ®ðîc gäi lµ
phð¬ng tr×nh cña dao ®éng ®iÒu hoµ.
Trong phð¬ng tr×nh nµy, ngðêi ta gäi :
A lµ biªn ®é dao ®éng. Nã lµ ®é lÖch cùc ®¹i cña
vËt. V× thÕ biªn ®é dao ®éng lµ mét sè dð¬ng. §iÓm
P dao ®éng qua l¹i gi÷a hai vÞ trÝ biªn P1 (cã x = A)
vµ P2 (cã x = — A).
(ωt + ϕ) lµ pha cña dao ®éng t¹i thêi ®iÓm t. Nã
cã ®¬n vÞ lµ ra®ian (rad).

H×nh 1.3

Víi mét biªn ®é ®· cho th× pha lµ ®¹i lðîng x¸c ®Þnh
vÞ trÝ vµ chiÒu chuyÓn ®éng cña vËt t¹i thêi ®iÓm t.
5

ϕ lµ pha ban ®Çu cña dao ®éng, cã gi¸ trÞ n»m
trong kho¶ng tõ −π ®Õn +π.
4. Chó ý
a) Ta nhËn thÊy, gi÷a dao ®éng ®iÒu hoµ vµ chuyÓn
®éng trßn ®Òu cã mét mèi liªn hÖ, thÓ hiÖn nhð sau :
§iÓm P dao ®éng ®iÒu hoµ trªn mét ®o¹n th¼ng lu«n
lu«n cã thÓ ®ðîc coi lµ h×nh chiÕu cña mét ®iÓm M
chuyÓn ®éng trßn ®Òu lªn ®ðêng kÝnh lµ ®o¹n th¼ng ®ã.

H×nh 1.4
ThÝ nghiÖm minh ho¹ mèi liªn hÖ gi÷a
dao ®éng ®iÒu hoµ vµ chuyÓn ®éng
trßn ®Òu.

b) §èi víi phð¬ng tr×nh dao ®éng ®iÒu hoµ
x = Acos(ωt + ϕ) ta quy ðíc chän trôc x lµm gèc ®Ó
tÝnh pha cña dao ®éng vµ chiÒu t¨ng cña pha tð¬ng øng
víi chiÒu t¨ng cña gãc P1OM trong chuyÓn ®éng trßn
®Òu (tøc lµ ngðîc chiÒu quay cña kim ®ång hå (H.1.1)).
III - chu k×. tÇn sè. TÇn sè gãc cña
dao ®éng ®iÒu hoµ

1. Chu k× vµ tÇn sè
Gièng nhð chuyÓn ®éng trßn ®Òu, dao ®éng ®iÒu
hoµ còng cã tÝnh chÊt tuÇn hoµn. ThËt vËy, cø sau
mét kho¶ng thêi gian gäi lµ chu k×, th× ®iÓm M
chuyÓn ®éng ®ðîc mét vßng, cßn ®iÓm P thùc hiÖn
®ðîc mét dao ®éng toµn phÇn vµ l¹i trë vÒ vÞ trÝ cò
theo hðíng cò (H.1.1). Tõ ®ã, ta cã c¸c ®Þnh nghÜa :
Chu k× (kÝ hiÖu lµ T) cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ kho¶ng
thêi gian ®Ó vËt thùc hiÖn mét dao ®éng toµn phÇn.
§¬n vÞ cña chu k× lµ gi©y (s).
TÇn sè (kÝ hiÖu lµ f) cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ sè
dao ®éng toµn phÇn thùc hiÖn ®ðîc trong mét gi©y.
§¬n vÞ cña tÇn sè lµ mét trªn gi©y (1/s), gäi lµ
hÐc (kÝ hiÖu lµ Hz).
2. TÇn sè gãc
Nhð ®· biÕt trong chuyÓn ®éng trßn ®Òu, gi÷a tèc
®é gãc ω, chu k× T vµ tÇn sè f cã mèi liªn hÖ :
2π
ω=
= 2π f .
T
Trong dao ®éng ®iÒu hoµ, ω ®ðîc gäi lµ tÇn sè gãc.
6

Nã còng cã ®¬n vÞ lµ ra®ian trªn gi©y (rad/s) nhð tèc
®é gãc.
Gi÷a tÇn sè gãc, chu k× vµ tÇn sè còng cã mèi
liªn hÖ tð¬ng tù :

ω=

2π
= 2π f
T

(1.2)

IV - vËn tèc vµ gia tèc cña vËt dao
®éng ®iÒu hoµ

1. VËn tèc
VËn tèc lµ ®¹o hµm cña li ®é theo thêi gian :
v = x' = —ωAsin(ωt + ϕ)

(1.3)

Ta thÊy vËn tèc lµ ®¹i lðîng biÕn thiªn ®iÒu hoµ.
— ë vÞ trÝ biªn, x = ± A th× vËn tèc b»ng 0.
— ë vÞ trÝ c©n b»ng x = 0 th× vËn tèc cã ®é lín cùc
®¹i : vmax = ωA.
2. Gia tèc
Gia tèc lµ ®¹o hµm cña vËn tèc theo thêi gian :
a = v' = —ω2Acos(ωt + ϕ)
a = − ω2x

(1.4)

C«ng thøc (1.4) cho thÊy :
— Gèc täa ®é O lµ vÞ trÝ c©n b»ng cña vËt v× khi x = 0
th× a = 0 vµ hîp lùc F= 0.
— Gia tèc lu«n lu«n ngðîc dÊu víi li ®é (hay vect¬
gia tèc lu«n lu«n hðíng vÒ vÞ trÝ c©n b»ng) vµ cã ®é
lín tØ lÖ víi ®é lín cña li ®é (H.1.5).
V

H×nh 1.5

- ®å thÞ cña dao ®éng ®iÒu hoµ

H×nh 1.6 lµ ®å thÞ biÓu diÔn sù phô thuéc cña li
®é x vµo thêi gian (víi ϕ = 0). Nã lµ mét ®ðêng h×nh
sin, v× thÕ ngðêi ta cßn gäi dao ®éng ®iÒu hoµ lµ dao
®éng h×nh sin.

H×nh 1.6

7

„ Dao ®éng ®iÒu hoµ lµ dao ®éng trong ®ã li ®é cña vËt lµ mét hµm c«sin (hay sin) cña
thêi gian.
„ Phð¬ng tr×nh cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ x = Acos(ωt + ϕ), trong ®ã :
x lµ li ®é cña dao ®éng ;
A lµ biªn ®é dao ®éng ;
ω lµ tÇn sè gãc cña dao ®éng, cã ®¬n vÞ lµ rad/s ;
(ωt + ϕ) lµ pha cña dao ®éng t¹i thêi ®iÓm t, cã ®¬n vÞ lµ rad ;
ϕ lµ pha ban ®Çu cña dao ®éng.
„ Mét ®iÓm dao ®éng ®iÒu hoµ trªn mét ®o¹n th¼ng lu«n lu«n cã thÓ ®ðîc coi lµ h×nh
chiÕu cña mét ®iÓm tð¬ng øng chuyÓn ®éng trßn ®Òu lªn ®ðêng kÝnh lµ ®o¹n th¼ng ®ã.
„ Chu k× T cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ kho¶ng thêi gian ®Ó vËt thùc hiÖn ®ðîc mét dao
®éng toµn phÇn. §¬n vÞ cña chu k× lµ gi©y (s).
„ TÇn sè f cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ sè dao ®éng toµn phÇn thùc hiÖn ®ðîc trong mét
gi©y. §¬n vÞ cña tÇn sè lµ hÐc (Hz).
„ TÇn sè gãc ω cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ mét ®¹i lðîng liªn hÖ víi chu k× T hay víi
tÇn sè f b»ng c¸c hÖ thøc sau ®©y :

ω=

2π

T

= 2π f

„ C«ng thøc tÝnh vËn tèc vµ gia tèc cña mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ :
v = x' = — ωAsin(ωt + ϕ)
a = v' = — ω2Acos(ωt + ϕ) = — ω2x
„ Vect¬ gia tèc lu«n lu«n hðíng vÒ vÞ trÝ c©n b»ng vµ cã ®é lín tØ lÖ víi ®é lín cña li ®é.
„ T¹i vÞ trÝ biªn, vËn tèc b»ng 0, cßn gia tèc cã ®é lín cùc ®¹i. T¹i vÞ trÝ c©n b»ng, gia tèc
b»ng 0, cßn vËn tèc cã ®é lín cùc ®¹i.
„ §å thÞ cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ mét ®ðêng h×nh sin.

C©u hái vµ bµi tËp

2. ViÕt phð¬ng tr×nh cña dao ®éng ®iÒu hoµ vµ
gi¶i thÝch c¸c ®¹i lðîng trong phð¬ng tr×nh.

4. Nªu ®Þnh nghÜa chu k× vµ tÇn sè cña dao ®éng
®iÒu hoµ.
5. Gi÷a chu k×, tÇn sè vµ tÇn sè gãc cã mèi liªn hÖ
nhð thÕ nµo ?

3. Mèi liªn hÖ gi÷a dao ®éng ®iÒu hoµ vµ chuyÓn
®éng trßn ®Òu thÓ hiÖn ë chç nµo ?

6. Mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ theo phð¬ng tr×nh
x = Acos(ωt + ϕ).

1. Ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa cña dao ®éng ®iÒu hoµ.

8

a) LËp c«ng thøc tÝnh vËn tèc vµ gia tèc cña vËt.
b) ë vÞ trÝ nµo th× vËn tèc b»ng 0 ? ë vÞ trÝ nµo
th× gia tèc b»ng 0 ?
c) ë vÞ trÝ nµo th× vËn tèc cã ®é lín cùc ®¹i ?
ë vÞ trÝ nµo th× gia tèc cã ®é lín cùc ®¹i ?

7. Mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ cã quü ®¹o lµ mét
®o¹n th¼ng dµi 12 cm. Biªn ®é dao ®éng cña
vËt lµ bao nhiªu ?
A. 12 cm.
B. −12 cm.
C. 6 cm.

D. − 6 cm.

8. Mét vËt chuyÓn ®éng trßn ®Òu víi tèc ®é gãc
lµ π rad/s. H×nh chiÕu cña vËt trªn mét ®ðêng
kÝnh dao ®éng ®iÒu hoµ víi tÇn sè gãc, chu k×
vµ tÇn sè b»ng bao nhiªu ?
A. π rad/s ; 2 s ; 0,5 Hz.
B. 2π rad/s ; 0,5 s ; 2 Hz.

C. 2π rad/s ; 1 s ; 1 Hz.
π
D. rad/s ; 4 s ; 0,25 Hz.
2
9. Cho phð¬ng tr×nh cña dao ®éng ®iÒu hoµ
x = −5cos(4πt) (cm). Biªn ®é vµ pha ban ®Çu
cña dao ®éng lµ bao nhiªu ?
A. 5 cm ; 0 rad.

B. 5 cm ; 4π rad.

C. 5 cm ; (4πt) rad.

D. 5 cm ; π rad.

10. Phð¬ng tr×nh cña dao ®éng ®iÒu hoµ lµ
π
x = 2cos(5t — ) (cm). H·y cho biÕt biªn ®é,
6
pha ban ®Çu, vµ pha ë thêi ®iÓm t cña dao ®éng.
11. Mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ ph¶i mÊt 0,25 s ®Ó
®i tõ ®iÓm cã vËn tèc b»ng 0 tíi ®iÓm tiÕp theo
còng cã vËn tèc b»ng 0. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai
®iÓm lµ 36 cm. TÝnh :
a) Chu k×.

b) TÇn sè.

c) Biªn ®é.

9

2

con l¾c lß xo

ë bµi trªn, ta ®· kh¶o s¸t dao ®éng ®iÒu hoµ vÒ mÆt ®éng häc. Trong bµi nµy, ta sÏ kh¶o s¸t tiÕp
dao ®éng ®iÒu hoµ vÒ mÆt ®éng lùc häc vµ n¨ng lðîng. Muèn thÕ, ta h·y dïng con l¾c lß xo lµm
m« h×nh ®Ó nghiªn cøu.

I

- con l¾c lß xo

1. XÐt mét con l¾c lß xo gåm mét vËt nhá cã khèi
lðîng m g¾n vµo ®Çu cña mét lß xo cã ®é cøng k vµ
cã khèi lðîng kh«ng ®¸ng kÓ ; ®Çu kia cña lß xo
®ðîc gi÷ cè ®Þnh (H.2.1). VËt m cã thÓ trðît trªn
mét mÆt ph¼ng n»m ngang kh«ng cã ma s¸t.
2. VÞ trÝ c©n b»ng cña vËt lµ vÞ trÝ khi lß xo kh«ng
biÕn d¹ng (H.2.1a). VËt sÏ ®øng yªn m·i ë vÞ trÝ nµy
nÕu lóc ®Çu nã ®øng yªn.
KÐo vËt ra khái vÞ trÝ c©n b»ng cho lß xo d·n ra
mét ®o¹n nhá råi bu«ng tay (H.2.1b), ta thÊy vËt
dao ®éng trªn mét ®o¹n th¼ng quanh vÞ trÝ c©n b»ng
(H.2.1c vµ d).
Ta h·y xÐt xem dao ®éng cña vËt m (hay cña con
l¾c lß xo) cã ph¶i lµ dao ®éng ®iÒu hoµ hay kh«ng.
H×nh 2.1

II - kh¶o s¸t dao ®éng cña con l¾c
lß xo vÒ mÆt ®éng lùc häc

1. Chän trôc to¹ ®é x song song víi trôc cña lß xo,
chiÒu dð¬ng lµ chiÒu t¨ng ®é dµi l cña lß xo. Chän
gèc to¹ ®é O t¹i vÞ trÝ c©n b»ng. Gi¶ sö vËt cã li ®é x.
V× träng lùc P vµ ph¶n lùc N cña mÆt ph¼ng t¸c
dông vµo vËt c©n b»ng nhau, nªn hîp lùc F t¸c dông
vµo vËt chØ lµ lùc ®µn håi cña lß xo. H¬n n÷a, ë vÞ trÝ
vËt cã li ®é x th× ®é biÕn d¹ng cña lß xo còng b»ng
x (Δl = x). Do ®ã lùc ®µn håi cña lß xo F = − kΔl cã
thÓ viÕt dðíi d¹ng ®¹i sè nhð sau :
F = − kx
10

(2.1)

2. ¸p dông ®Þnh luËt II Niu-t¬n, ta ®ðîc :
a=−

k
x
m

(2.2)

k
vµ so s¸nh c«ng thøc (2.2) víi c«ng thøc (1.4)
m
ta rót ra kÕt luËn :

3. §Æt ω 2 =

Dao ®éng cña con l¾c lß xo lµ dao ®éng ®iÒu hoµ theo phð¬ng
tr×nh (1.1).
TÇn sè gãc vµ chu k× cña con l¾c lß xo lÇn lðît lµ :

ω=

k
m

(2.3)

T = 2π

m
k

(2.4)

C1

C1 Chøng minh

4. Lùc kÐo vÒ

r»ng

Lùc lu«n hðíng vÒ vÞ trÝ c©n b»ng gäi lµ lùc kÐo vÒ. Lùc kÐo
vÒ cã ®é lín tØ lÖ víi li ®é lµ lùc g©y ra gia tèc cho vËt dao ®éng
®iÒu hoµ.

m
k

cã ®¬n vÞ

lµ gi©y.

III - kh¶o s¸t dao ®éng cña con l¾c lß xo
vÒ mÆt n¨ng lðîng

1. §éng n¨ng cña con l¾c lß xo
§éng n¨ng cña con l¾c lß xo lµ ®éng n¨ng cña vËt m :
W® =

1
mv 2
2

(2.5)

2. ThÕ n¨ng cña con l¾c lß xo
ë líp 10 ta ®· biÕt, khi lß xo bÞ biÕn d¹ng th× hÖ gåm lß xo vµ
1
vËt nhá, tøc lµ con l¾c lß xo, cã thÕ n¨ng ®µn håi Wt = k (Δl )2 .
2
Thay Δl = x vµo, ta cã c«ng thøc tÝnh thÕ n¨ng cña con l¾c lß xo
nhð sau :
1
Wt = kx 2
(2.6)
2
11

3. C¬ n¨ng cña con l¾c lß xo. Sù b¶o toµn
c¬ n¨ng
a) C¬ n¨ng cña con l¾c lß xo lµ tæng ®éng n¨ng vµ
thÕ n¨ng cña con l¾c.
W=

1 2 1 2
mv + kx
2
2

(2.7)

b) Ta cã thÓ chøng minh r»ng khi kh«ng cã ma s¸t
th× c¬ n¨ng cña con l¾c ®ðîc b¶o toµn. Nã chØ biÕn
®æi tõ d¹ng thÕ n¨ng sang ®éng n¨ng vµ ngðîc l¹i.
ThËt vËy, thay v tõ c«ng thøc (1.3) vµ thay x tõ c«ng
thøc (1.1) vµo c«ng thøc (2.7) ta ®ðîc :
W=

1
1
mω 2 A2 sin 2 (ω t + ϕ ) + kA2 cos2 (ω t + ϕ )
2
2

KÕt hîp víi c«ng thøc (2.3), ta ®ðîc :
C2 H·y cho biÕt mét c¸ch ®Þnh
tÝnh, thÕ n¨ng vµ ®éng n¨ng cña
con l¾c thay ®æi thÕ nµo khi nã ®i
tõ vÞ trÝ biªn vÒ vÞ trÝ c©n b»ng vµ tõ
vÞ trÝ c©n b»ng ®Õn vÞ trÝ biªn.

W =

1 2 1
kA = mω 2 A2 = h»ng sè
2
2

(2.8)

C«ng thøc (2.8) cho thÊy :
C¬ n¨ng cña con l¾c tØ lÖ víi b×nh phð¬ng cña
biªn ®é dao ®éng.
C¬ n¨ng cña con l¾c ®ðîc b¶o toµn nÕu bá qua
mäi ma s¸t.
C2

„ Con l¾c lß xo lµ mét hÖ dao ®éng ®iÒu hoµ.
„ C«ng thøc cña lùc kÐo vÒ t¸c dông vµo con l¾c lß xo lµ :
F = − kx
trong ®ã x lµ li ®é cña vËt m ; k lµ ®é cøng cña lß xo ; dÊu trõ chØ r»ng lùc
hðíng vÒ vÞ trÝ c©n b»ng.
m
„ Chu k× dao ®éng cña con l¾c lß xo lµ T = 2π
k
„ §éng n¨ng cña con l¾c lß xo lµ :
W® =

1
2
mv (m lµ khèi lðîng cña vËt)
2

„ ThÕ n¨ng cña con l¾c lß xo (mèc thÕ n¨ng ë vÞ trÝ c©n b»ng) :

12

F lu«n lu«n

Wt =

1 2
kx (x lµ li ®é cña vËt m)
2

„ C¬ n¨ng cña con l¾c lß xo :
W=

1 2 1
1
1 2
2 2
2
mv + kx hay : W = kA = mω A = h»ng sè
2
2
2
2

„ C¬ n¨ng cña con l¾c tØ lÖ víi b×nh phð¬ng cña biªn ®é dao ®éng.
„ C¬ n¨ng cña con l¾c ®ðîc b¶o toµn nÕu bá qua mäi ma s¸t.

C©u hái vµ bµi tËp

1. Kh¶o s¸t dao ®éng cña con l¾c lß xo n»m
ngang. T×m c«ng thøc cña lùc kÐo vÒ.
2. Nªu c«ng thøc tÝnh chu k× cña con l¾c lß xo.
3. ViÕt c«ng thøc cña ®éng n¨ng, thÕ n¨ng vµ
c¬ n¨ng cña con l¾c lß xo.
Khi con l¾c lß xo dao ®éng ®iÒu hoµ th× ®éng
n¨ng vµ thÕ n¨ng cña con l¾c biÕn ®æi qua l¹i
nhð thÕ nµo ?

4. Chän ®¸p ¸n ®óng.
C«ng thøc tÝnh chu k× dao ®éng cña con l¾c
lß xo lµ :
A. T = 2π

k
m

C. T =

1
2π

m
k

1
B. T =
2π

k
m

D. T = 2π

m

5. Mét con l¾c lß xo dao ®éng ®iÒu hoµ. Lß xo cã
®é cøng k = 40 N/m. Khi vËt m cña con l¾c ®ang
qua vÞ trÝ cã li ®é x = −2 cm th× thÕ n¨ng cña
con l¾c lµ bao nhiªu ?
A. − 0,016 J.

B. − 0,008 J.

C. 0,016 J.

D. 0,008 J.

6. Mét con l¾c lß xo gåm mét vËt cã khèi lðîng
m = 0,4 kg vµ mét lß xo cã ®é cøng k = 80 N/m.
Con l¾c dao ®éng ®iÒu hoµ víi biªn ®é
b»ng 0,1 m. Hái tèc ®é cña con l¾c khi qua vÞ trÝ
c©n b»ng ?
A. 0 m/s.

B. 1,4 m/s.

C. 2,0 m/s.

D. 3,4 m/s.

k

13

3

con l¾c ®¬n
I

- thÕ nµo lµ con l¾c ®¬n ?

1. Con l¾c ®¬n gåm mét vËt nhá, khèi lðîng m, treo
ë ®Çu cña mét sîi d©y kh«ng d·n, khèi lðîng kh«ng
®¸ng kÓ, dµi l (H.3.1).

H×nh 3.1

2. VÞ trÝ c©n b»ng cña con l¾c lµ vÞ trÝ mµ d©y treo
cã phð¬ng th¼ng ®øng. Con l¾c sÏ ®øng yªn m·i ë
vÞ trÝ nµy nÕu lóc ®Çu nã ®øng yªn. KÐo nhÑ qu¶ cÇu
cho d©y treo lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng mét gãc råi
th¶ ra, ta thÊy con l¾c dao ®éng quanh vÞ trÝ c©n
b»ng trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng ®i qua ®iÓm treo
vµ vÞ trÝ ban ®Çu cña vËt.
Ta h·y xÐt xem dao ®éng cña con l¾c ®¬n cã ph¶i
lµ dao ®éng ®iÒu hoµ hay kh«ng.
II - kh¶o s¸t Dao ®éng cña con
l¾c ®¬n vÒ mÆt ®éng lùc häc

1. Chän chiÒu dð¬ng tõ tr¸i sang ph¶i, gèc to¹ ®é
cong t¹i vÞ trÝ c©n b»ng O. Khi Êy, vÞ trÝ cña vËt m
®ðîc x¸c ®Þnh bëi li ®é gãc α = OCM hay bëi li
q = lα (H.3.2). α vµ s cã gi¸ trÞ dð¬ng
®é cong s = OM
khi con l¾c lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng theo chiÒu
dð¬ng vµ ngðîc l¹i.

H×nh 3.2

2. Trong khi dao ®éng, vËt chÞu t¸c dông cña träng
lùc P vµ lùc c¨ng T. Ta ph©n tÝch träng lùc P thµnh
hai thµnh phÇn : Lùc thµnh phÇn Pn theo phð¬ng
vu«ng gãc víi quü ®¹o vµ lùc thµnh phÇn Pt theo
phð¬ng tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o.
Lùc c¨ng T vµ lùc thµnh phÇn Pn vu«ng gãc víi
®ðêng ®i nªn kh«ng lµm thay ®æi tèc ®é cña vËt.

14

Hîp lùc cña chóng lµ lùc hðíng t©m gi÷ cho vËt chuyÓn ®éng
trªn cung trßn.
Lùc thµnh phÇn Pt lµ lùc kÐo vÒ vµ cã gi¸ trÞ ®¹i sè nhð sau :
Pt = − mgsin α

(3.1)

C«ng thøc (3.1) cho thÊy dao ®éng cña con l¾c ®¬n nãi chung
kh«ng ph¶i lµ dao ®éng ®iÒu hoµ.
NÕu li ®é gãc α nhá th× sinα ≈ α (rad). Khi Êy, lùc kÐo vÒ
cã ®é lín tØ lÖ víi li ®é. ThËt vËy :
Pt = − mgα = − mg

s
l

(3.2)

C1

mg
So s¸nh c«ng thøc (3.2) víi c«ng thøc (2.1), ta thÊy
cã vai trß
l
m
cña k. Do ®ã l cã vai trß cña
trong c«ng thøc tÝnh chu k×
g
k
cña con l¾c.

VËy, khi dao ®éng nhá (sinα ≈ α (rad)), con l¾c ®¬n dao ®éng
®iÒu hoµ theo phð¬ng tr×nh :
s = s0cos(ωt + ϕ)
(3.3)
víi chu k× : T = 2π

l
g

C1 Chøng tá r»ng
®èi víi nh÷ng gãc
lÖch nhá h¬n 20o
th× ®é chªnh lÖch
gi÷a sinα vµ α (rad)
kh«ng ®Õn 1%.

(3.4)

trong ®ã s0 = lα0 lµ biªn ®é dao ®éng.
C2

III - Kh¶o s¸t dao ®éng cña con l¾c ®¬n vÒ
mÆt n¨ng lðîng

C2 Cã nhËn xÐt g×
vÒ chu k× cña con
l¾c ®¬n ?

1. §éng n¨ng cña con l¾c ®¬n lµ ®éng n¨ng cña vËt (coi lµ chÊt ®iÓm).
W® =

1 2
mv
2

(3.5)

2. ThÕ n¨ng cña con l¾c ®¬n lµ thÕ n¨ng träng trðêng cña vËt. NÕu
chän mèc tÝnh thÕ n¨ng lµ vÞ trÝ c©n b»ng th× thÕ n¨ng cña con l¾c
®¬n ë li ®é gãc α lµ :
Wt = mgl(1 − cosα)

(3.6)
15

3. NÕu bá qua mäi ma s¸t th× c¬ n¨ng cña con l¾c
(bao gåm thÕ n¨ng vµ ®éng n¨ng cña vËt) ®ðîc b¶o
toµn. Nã chØ biÕn ®æi tõ d¹ng thÕ n¨ng sang d¹ng
®éng n¨ng vµ ngðîc l¹i.
W =

1 2
mv + mgl (1 − cosα ) = h»ng sè
2

(3.7)

C«ng thøc (3.7) ®óng ®èi víi mäi li ®é gãc α ≤ 90o.
C3 H·y m« t¶ mét c¸ch ®Þnh tÝnh
sù biÕn ®æi n¨ng lðîng cña con l¾c,
khi nã ®i tõ vÞ trÝ biªn vÒ vÞ trÝ c©n
b»ng vµ khi nã ®i tõ vÞ trÝ c©n b»ng
ra vÞ trÝ biªn.

C3

IV - øng dông : x¸c ®Þnh gia tèc r¬i
tù do

Trong lÜnh vùc ®Þa chÊt, c¸c nhµ ®Þa chÊt quan
t©m ®Õn nh÷ng tÝnh chÊt ®Æc biÖt cña líp bÒ mÆt
Tr¸i §Êt vµ thðêng xuyªn ph¶i ®o gia tèc träng
trðêng ë mét n¬i nµo ®ã. Sau ®©y lµ mét vÝ dô.
Dïng mét con l¾c cã chiÒu dµi l tÝnh ®Õn t©m cña
qu¶ cÇu. §o thêi gian cña mét sè dao ®éng toµn
phÇn, tõ ®ã suy ra chu k× T. Sau ®ã ta tÝnh g theo
4π 2 l
g
=
c«ng thøc
. LÆp l¹i thÝ nghiÖm nhiÒu lÇn,
T2
mçi lÇn rót ng¾n chiÒu dµi con l¾c ®i mét ®o¹n. LÊy
gi¸ trÞ trung b×nh g ë c¸c lÇn ®o, ta ®ðîc gia tèc r¬i
tù do t¹i n¬i ®ã.

„ Khi dao ®éng nhá (sinα ≈ α (rad)), con l¾c ®¬n dao ®éng ®iÒu hoµ víi chu k× :
T = 2π

l
g

1
2
mv
2
„ ThÕ n¨ng cña con l¾c ®¬n ë li ®é gãc α :

„ §éng n¨ng cña con l¾c ®¬n : W® =

Wt = mg l (1 − cos α ) (mèc tÝnh thÕ n¨ng ë vÞ trÝ c©n b»ng)

„ C¬ n¨ng cña con l¾c ®¬n ®ðîc b¶o toµn nÕu bá qua mäi ma s¸t :
1
2
W = mv + mg l (1 − cos α ) = h»ng sè
2

16

C©u hái vµ bµi tËp

1. ThÕ nµo lµ con l¾c ®¬n ? Kh¶o s¸t dao ®éng cña
con l¾c ®¬n vÒ mÆt ®éng lùc häc. Chøng minh
r»ng khi dao ®éng nhá (sinα ≈ α (rad)), dao
®éng cña con l¾c ®¬n lµ dao ®éng ®iÒu hoµ.

5. H·y chän c©u ®óng.
Mét con l¾c ®¬n dao ®éng víi biªn ®é gãc nhá.
Chu k× cña con l¾c kh«ng thay ®æi khi :
A. thay ®æi chiÒu dµi cña con l¾c.

2. ViÕt c«ng thøc tÝnh chu k× cña con l¾c ®¬n khi
dao ®éng nhá.

B. thay ®æi gia tèc träng trðêng.

3. ViÕt biÓu thøc cña ®éng n¨ng, thÕ n¨ng vµ c¬
n¨ng cña con l¾c ®¬n ë vÞ trÝ cã gãc lÖch α bÊt k×.

D. thay ®æi khèi lðîng cña con l¾c.

Khi con l¾c dao ®éng th× ®éng n¨ng vµ thÕ
n¨ng cña con l¾c biÕn thiªn nhð thÕ nµo ?

C. t¨ng biªn ®é gãc ®Õn 30o.
6. Mét con l¾c ®¬n ®ðîc th¶ kh«ng vËn tèc ®Çu tõ
li ®é gãc α0. Khi con l¾c ®i qua vÞ trÝ c©n b»ng
th× tèc ®é cña qu¶ cÇu con l¾c lµ bao nhiªu ?

4. H·y chän c©u ®óng.
Chu k× cña con l¾c ®¬n dao ®éng nhá
(sinα ≈ α (rad)) lµ :
1
A. T =
2π

l
g

B. T = 1
2π

g
l

C. T = 2π

l
g

D. T = 2π

l
g

A.

gl(1 − cosα 0 )

B.

2 glcosα 0

C.

2 gl(1 − cos α 0 )

D.

glcosα 0

7. Mét con l¾c ®¬n dµi l = 2,00 m, dao ®éng
®iÒu hoµ t¹i mét n¬i cã gia tèc r¬i tù do
g = 9,80 m/s2. Hái con l¾c thùc hiÖn ®ðîc bao
nhiªu dao ®éng toµn phÇn trong 5,00 phót ?

17

4

dao ®éng t¾t dÇn
Dao ®éng cðìng bøc

T¹i sao « t«, xe m¸y l¹i cÇn cã thiÕt bÞ gi¶m xãc ?
T¹i sao mét ®oµn qu©n ®i ®Òu bðíc qua cÇu cã thÓ lµm sËp cÇu ?
T¹i sao giäng h¸t cao vµ khoÎ cña nam ca sÜ ngðêi ý En-ri-c« Ca-ru-x« l¹i cã thÓ lµm vì chiÕc
cèc thuû tinh ®Ó gÇn ?

Trong c¸c bµi trðíc, ta ®· gi¶ thiÕt kh«ng cã lùc
ma s¸t t¸c dông vµo con l¾c. Con l¾c dao ®éng víi
biªn ®é vµ tÇn sè riªng (kÝ hiÖu lµ f0) kh«ng ®æi. Gäi
lµ tÇn sè riªng v× nã chØ phô thuéc vµo c¸c ®Æc tÝnh
cña hÖ dao ®éng.
I

- dao ®éng t¾t dÇn

1. ThÕ nµo lµ dao ®éng t¾t dÇn ?
Trong thùc tÕ, khi kÐo con l¾c ra khái vÞ trÝ c©n
b»ng råi th¶ cho nã dao ®éng, ta thÊy biªn ®é dao
®éng gi¶m dÇn (H.4.1). Dao ®éng nhð vËy gäi lµ
dao ®éng t¾t dÇn.
2. Gi¶i thÝch
H×nh 4.1

T¹i sao dao ®éng l¹i t¾t dÇn ? Khi con l¾c dao
®éng, nã chÞu lùc c¶n cña kh«ng khÝ. Lùc c¶n nµy
còng lµ mét lo¹i lùc ma s¸t lµm tiªu hao c¬ n¨ng cña
con l¾c, chuyÓn ho¸ c¬ n¨ng dÇn dÇn thµnh nhiÖt
n¨ng. V× thÕ, biªn ®é dao ®éng cña con l¾c gi¶m
dÇn vµ cuèi cïng con l¾c dõng l¹i.
3. øng dông
C¸c thiÕt bÞ ®ãng cöa tù ®éng hay gi¶m xãc
« t«,... lµ nh÷ng øng dông cña dao ®éng t¾t dÇn.
Khi mét ngðêi ®Èy lo¹i cöa tù khÐp ®Ó ®i vµo,
c¸nh cöa dao ®éng nhð mét con l¾c. Nhê cã thiÕt bÞ
sinh ra lùc lµm dao ®éng t¾t dÇn mµ c¸nh cöa tù

18

khÐp l¹i. Khi « t« ®i qua chç mÊp m«, nã n¶y lªn råi dao ®éng
gièng nhð mét con l¾c lß xo lµm hµnh kh¸ch khã chÞu. Nhê cã
thiÕt bÞ gi¶m xãc mµ dao ®éng cña khung xe chãng t¾t.
II

- dao ®éng duy tr×

1. Muèn gi÷ cho biªn ®é dao ®éng cña con l¾c
kh«ng ®æi mµ kh«ng lµm thay ®æi chu k× dao ®éng
riªng cña nã, ngðêi ta dïng mét thiÕt bÞ nh»m cung
cÊp cho nã sau mçi chu k× mét phÇn n¨ng lðîng
®óng b»ng phÇn n¨ng lðîng tiªu hao do ma s¸t. Dao
®éng cña con l¾c ®ðîc duy tr× theo c¸ch nhð vËy gäi
lµ dao ®éng duy tr×.
2. Dao ®éng cña con l¾c ®ång hå lµ dao ®éng duy tr×. Víi lo¹i
®ång hå dïng d©y cãt, khi lªn d©y cãt, ta ®· tÝch luü vµo d©y cãt
mét thÕ n¨ng nhÊt ®Þnh. D©y cãt cung cÊp n¨ng lðîng cho con
l¾c th«ng qua mét c¬ cÊu trung gian. C¬ cÊu nµy cho phÐp chÝnh
con l¾c ®iÒu khiÓn sù cung cÊp n¨ng lðîng theo chu k× riªng cña
nã. Ngµy nay, ngðêi ta thðêng dïng lo¹i ®ång hå ®iÖn tö. Lo¹i
®ång hå nµy ®ðîc cung cÊp n¨ng lðîng b»ng pin.
III

H×nh 4.2
Nh÷ng ngðêi ch¬i ®u
biÕt duy tr× dao ®éng
cña chiÕc ®u b»ng c¸ch
truyÒn n¨ng lðîng cho
chiÕc ®u.

- Dao ®éng cðìng bøc

1. ThÕ nµo lµ dao ®éng cðìng bøc ?
C¸ch ®¬n gi¶n nhÊt lµm cho mét hÖ dao ®éng kh«ng t¾t lµ t¸c
dông vµo nã mét ngo¹i lùc cðìng bøc tuÇn hoµn. Lùc nµy cung cÊp
n¨ng lðîng cho hÖ ®Ó bï l¹i phÇn n¨ng lðîng mÊt m¸t do ma s¸t.
Khi Êy, dao ®éng cña hÖ ®ðîc gäi lµ dao ®éng cðìng bøc.
2. VÝ dô
Khi ®Õn mçi bÕn, xe buýt chØ t¹m dõng nªn kh«ng t¾t m¸y.
Hµnh kh¸ch trªn xe nhËn thÊy th©n xe dao ®éng. §ã lµ dao ®éng
cðìng bøc dðíi t¸c dông cña lùc cðìng bøc tuÇn hoµn g©y ra bëi
chuyÓn ®éng cña pit-t«ng trong xilanh cña m¸y næ.
3. §Æc ®iÓm
Kh¸c víi dao ®éng t¾t dÇn, dao ®éng cðìng bøc cã nh÷ng ®Æc
®iÓm sau ®©y :
a) Dao ®éng cðìng bøc cã biªn ®é kh«ng ®æi vµ cã tÇn sè b»ng
tÇn sè cña lùc cðìng bøc.
19

b) Biªn ®é cña dao ®éng cðìng bøc kh«ng chØ phô
thuéc vµo biªn ®é cña lùc cðìng bøc mµ cßn phô
thuéc c¶ vµo ®é chªnh lÖch gi÷a tÇn sè cña lùc
cðìng bøc vµ tÇn sè riªng cña hÖ dao ®éng. Khi tÇn
sè cña lùc cðìng bøc cµng gÇn tÇn sè riªng th× biªn
®é dao ®éng cðìng bøc cµng lín.
C1

H×nh 4.3

C1 H·y lµm thÝ nghiÖm nhð
H×nh 4.3. Con l¾c ®iÒu khiÓn D
®ðîc kÐo sang mét bªn råi th¶ ra
cho dao ®éng.
a) C¸c con l¾c kh¸c cã dao ®éng
kh«ng ?
b) Con l¾c nµo dao ®éng m¹nh
nhÊt ? T¹i sao ?

IV

- hiÖn tðîng céng hðëng

1. §Þnh nghÜa
HiÖn tðîng biªn ®é dao ®éng cðìng bøc t¨ng
®Õn gi¸ trÞ cùc ®¹i khi tÇn sè f cña lùc cðìng bøc
tiÕn ®Õn b»ng tÇn sè riªng f0 cña hÖ dao ®éng gäi
lµ hiÖn tðîng céng hðëng.
§ðêng cong trªn ®å thÞ H×nh 4.4 gäi lµ ®å thÞ
céng hðëng. Nã cµng nhän khi lùc c¶n cña m«i
trðêng cµng nhá.

A

§iÒu kiÖn f = f0 gäi lµ ®iÒu kiÖn céng hðëng.
2. Gi¶i thÝch

B

f

H×nh 4.4
§ðêng cong A øng víi lùc c¶n cña m«i
trðêng nhá. §ðêng cong B øng víi lùc
c¶n cña m«i trðêng lín.

Khi tÇn sè cña lùc cðìng bøc b»ng tÇn sè riªng cña
hÖ dao ®éng th× hÖ ®ðîc cung cÊp n¨ng lðîng mét
c¸ch nhÞp nhµng ®óng lóc, do ®ã biªn ®é dao ®éng
cña hÖ t¨ng dÇn lªn. Biªn ®é dao ®éng ®¹t tíi gi¸ trÞ
kh«ng ®æi vµ cùc ®¹i khi tèc ®é tiªu hao n¨ng lðîng
do ma s¸t b»ng tèc ®é cung cÊp n¨ng lðîng cho hÖ.
C2

3. TÇm quan träng cña hiÖn tðîng céng hðëng
C2 a) T¹i sao biªn ®é dao ®éng
cðìng bøc cña th©n xe trong vÝ dô
III.2 l¹i nhá ?
b) T¹i sao víi mét lùc ®Èy nhá ta cã
thÓ lµm cho chiÕc ®u cã ngðêi ngåi
®ung ®ða víi biªn ®é lín ?

20

Nh÷ng hÖ dao ®éng nhð toµ nhµ, cÇu, bÖ m¸y,
khung xe,... ®Òu cã tÇn sè riªng. Ph¶i cÈn thËn
kh«ng ®Ó cho c¸c hÖ Êy chÞu t¸c dông cña c¸c lùc
cðìng bøc m¹nh cã tÇn sè b»ng tÇn sè riªng Êy. NÕu
kh«ng, nã lµm cho c¸c hÖ Êy dao ®éng m¹nh, dÉn
®Õn ®æ hoÆc g·y. C©u chuyÖn vÒ mét giäng h¸t
«pªra cao vµ khoÎ cã thÓ lµm vì c¸i cèc uèng rðîu
lµm ta nghÜ ®Õn hiÖn tðîng céng hðëng.

HiÖn tðîng céng hðëng kh«ng chØ cã h¹i mµ cßn cã lîi.
VÝ dô, hép ®µn cña c¸c ®µn ghita, vi«lon... lµ nh÷ng hép céng
hðëng ®ðîc cÊu t¹o sao cho kh«ng khÝ trong hép cã thÓ dao
®éng céng hðëng víi nhiÒu tÇn sè dao ®éng kh¸c nhau cña
d©y ®µn (xem chð¬ng sau).

„ Khi kh«ng cã ma s¸t con l¾c dao ®éng ®iÒu hoµ víi tÇn sè riªng. Gäi lµ tÇn sè riªng v×
nã chØ phô thuéc vµo c¸c ®Æc tÝnh cña con l¾c.
„ Dao ®éng cã biªn ®é gi¶m dÇn theo thêi gian gäi lµ dao ®éng t¾t dÇn. Nguyªn nh©n
lµm t¾t dÇn dao ®éng lµ do lùc ma s¸t vµ lùc c¶n cña m«i trðêng.
„ Dao ®éng ®ðîc duy tr× b»ng c¸ch gi÷ cho biªn ®é kh«ng ®æi mµ kh«ng lµm thay ®æi chu
k× dao ®éng riªng gäi lµ dao ®éng duy tr×.
„ Dao ®éng chÞu t¸c dông cña mét ngo¹i lùc cðìng bøc tuÇn hoµn gäi lµ dao ®éng cðìng
bøc. Dao ®éng cðìng bøc cã biªn ®é kh«ng ®æi vµ cã tÇn sè b»ng tÇn sè cña lùc cðìng bøc.
„ HiÖn tðîng biªn ®é dao ®éng cðìng bøc t¨ng dÇn lªn ®Õn gi¸ trÞ cùc ®¹i khi tÇn sè f cña
lùc cðìng bøc b»ng tÇn sè riªng f0 cña hÖ dao ®éng gäi lµ hiÖn tðîng céng hðëng.
§iÒu kiÖn céng hðëng : f = f0.

C©u hái vµ bµi tËp

1. Nªu ®Æc ®iÓm cña dao ®éng t¾t dÇn. Nguyªn
nh©n cña nã lµ g× ?
2. Nªu ®Æc ®iÓm cña dao ®éng duy tr×.
3. Nªu ®Æc ®iÓm cña dao ®éng cðìng bøc.
4. HiÖn tðîng céng hðëng lµ g× ? Nªu ®iÒu kiÖn
®Ó cã céng hðëng. Cho mét vÝ dô.

5. Mét con l¾c dao ®éng t¾t dÇn. Cø sau mçi chu
k×, biªn ®é gi¶m 3%. PhÇn n¨ng lðîng cña con
l¾c bÞ mÊt ®i trong mét dao ®éng toµn phÇn lµ
bao nhiªu ?
A. 3%.

B. 9%.

C. 4,5%.

D. 6%.

6. Mét con l¾c dµi 44 cm ®ðîc treo vµo trÇn cña
mét toa xe löa. Con l¾c bÞ kÝch ®éng mçi khi
b¸nh cña toa xe gÆp chç nèi nhau cña ®ðêng
ray. Hái tµu ch¹y th¼ng ®Òu víi tèc ®é b»ng
bao nhiªu th× biªn ®é dao ®éng cña con l¾c sÏ
lín nhÊt ? Cho biÕt chiÒu dµi cña mçi ®ðêng
ray lµ 12,5 m. LÊy g = 9,8 m/s2.
A. 10,7 km/h.

B. 34 km/h.

C. 106 km/h.

D. 45 km/h.

21

5

Tæng hîp hai dao ®éng ®iÒu hoµ
cïng phð¬ng, cïng tÇn sè
hð¬ng ph¸p gi¶n ®å Fre-nen

p

Trong chð¬ng sau, ta sÏ gÆp nhiÒu trðêng hîp mét vËt chÞu t¸c ®éng ®ång thêi cña nhiÒu dao
®éng. Ch¼ng h¹n nhð mµng nhÜ cña tai, mµng rung cña micr«... thðêng xuyªn nhËn ®ðîc nhiÒu
dao ®éng g©y ra bëi c¸c sãng ©m. Hay nhð khi c¸c sãng cïng truyÒn tíi mét ®iÓm cña m«i
trðêng th× ®iÓm ®ã nhËn ®ðîc cïng mét lóc c¸c dao ®éng g©y ra bëi c¸c sãng. Trong nh÷ng
trðêng hîp Êy, vËt sÏ dao ®éng nhð thÕ nµo ?
Trong bµi nµy, ta chØ xÐt hai dao ®éng ®iÒu hoµ cïng phð¬ng, cïng tÇn sè.

- vecT¥ quay

I

M

O

x

H×nh 5.1

ë bµi 1 ta ®· biÕt, khi ®iÓm M chuyÓn ®éng trßn
®Òu th× vect¬ vÞ trÝ OM quay ®Òu víi cïng tèc ®é
gãc ω. Khi Êy x = Acos(ωt + ϕ) lµ phð¬ng tr×nh cña
h×nh chiÕu cña vect¬ quay OM lªn trôc x. Dùa vµo
®ã ngðêi ta ®ða ra c¸ch biÓu diÔn phð¬ng tr×nh cña
dao ®éng ®iÒu hoµ b»ng mét vect¬ quay ®ðîc vÏ t¹i
thêi ®iÓm ban ®Çu (H.5.1). Vect¬ quay cã nh÷ng
®Æc ®iÓm sau ®©y :
− Cã gèc t¹i gèc to¹ ®é cña trôc Ox ;
− Cã ®é dµi b»ng biªn ®é dao ®éng, OM = A ;
− Hîp víi trôc Ox mét gãc b»ng pha ban ®Çu
(chän chiÒu dð¬ng lµ chiÒu dð¬ng cña ®ðêng
trßn lðîng gi¸c).

C1 H·y biÓu diÔn dao ®éng ®iÒu
π
hoµ x = 3cos(5t + ) (cm) b»ng
3
mét vect¬ quay.

C1

II

- Phð¬ng ph¸p gi¶n ®å Fre-nen

1. §Æt vÊn ®Ò
Gi¶ sö ta ph¶i t×m li ®é cña dao ®éng tæng hîp
cña hai dao ®éng ®iÒu hoµ cïng phð¬ng, cïng tÇn
sè sau ®©y :
22

x1 = A1cos(ω t + ϕ1 )
x2 = A2 cos(ω t + ϕ2 )

Ta cã thÓ t×m ®ðîc li ®é cña dao ®éng tæng hîp
b»ng c¸ch tÝnh tæng ®¹i sè hai li ®é cña hai dao
®éng thµnh phÇn : x = x1 + x2. C¸ch tÝnh nµy chØ dÔ
dµng nÕu A1 = A2. V× thÕ trong trðêng hîp A1 ≠ A2,
ngðêi ta thðêng dïng mét phð¬ng ph¸p kh¸c thuËn
tiÖn h¬n, gäi lµ phð¬ng ph¸p gi¶n ®å Fre-nen, do
nhµ vËt lÝ Fre-nen ®ða ra.
2. Phð¬ng ph¸p gi¶n ®å Fre-nen
a) Ta lÇn lðît vÏ hai vect¬ quay OM1 vµ OM2 biÓu diÔn
hai li ®é x1 = A1cos(ω t + ϕ1 ) vµ x2 = A2 cos(ω t + ϕ2 )
t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu. Sau ®ã ta vÏ vect¬ OM lµ
tæng cña hai vect¬ trªn. V× hai vect¬ OM1 vµ OM2 cã
cïng mét tèc ®é gãc ω nªn h×nh b×nh hµnh
OM1MM2 kh«ng biÕn d¹ng vµ quay víi tèc ®é gãc ω.
Vect¬ ®ðêng chÐo OM còng lµ mét vect¬ quay víi
tèc ®é gãc ω quanh gèc to¹ ®é O (H.5.2).

H×nh 5.2

V× tæng c¸c h×nh chiÕu cña hai vect¬ OM1 vµ OM2
lªn trôc Ox b»ng h×nh chiÕu cña vect¬ tæng OM lªn
trôc ®ã, nªn vect¬ quay OM biÓu diÔn phð¬ng tr×nh
dao ®éng ®iÒu hoµ tæng hîp x = Acos(ω t + ϕ ) .
VËy, dao ®éng tæng hîp cña hai dao ®éng ®iÒu
hoµ cïng phð¬ng, cïng tÇn sè lµ mét dao ®éng ®iÒu
hoµ cïng phð¬ng, cïng tÇn sè víi hai dao ®éng ®ã.
b) §é lín cña vect¬ quay OM b»ng biªn ®é dao
®éng tæng hîp, cßn gãc ϕ mµ vect¬ OM hîp víi trôc
Ox lµ pha ban ®Çu cña dao ®éng tæng hîp.
Trong trðêng hîp tæng qu¸t, biªn ®é vµ pha ban
®Çu ®ðîc tÝnh b»ng c¸c c«ng thøc sau ®©y :
A2 = A12 + A22 + 2A1A 2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
tanϕ =

A1 sinϕ1 + A2 sinϕ 2
A1 cosϕ1 + A2 cosϕ 2

(5.1)

C2 H·y t×m l¹i hai c«ng thøc (5.1)
vµ (5.2).

(5.2)

C2

23

3. ¶nh hðëng cña ®é lÖch pha
Tõ c«ng thøc (5.1) ta thÊy biªn ®é cña dao ®éng
tæng hîp phô thuéc vµo c¸c biªn ®é A1, A2 vµ ®é
lÖch pha (ϕ2 − ϕ1) cña c¸c dao ®éng thµnh phÇn.
NÕu c¸c dao ®éng thµnh phÇn cïng pha, tøc
Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = 2nπ , (n = 0, ±1, ±2,...), th× biªn ®é
dao ®éng tæng hîp lµ lín nhÊt vµ b»ng tæng hai biªn
®é : A = A1 + A2.
NÕu hai dao ®éng thµnh phÇn ngðîc pha, tøc
Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = (2 n + 1)π , (n = 0, ±1, ±2,...), th× biªn
®é dao ®éng tæng hîp lµ nhá nhÊt vµ b»ng trÞ tuyÖt
®èi cña hiÖu hai biªn ®é : A = A1 − A2 .
4. VÝ dô
Cho hai dao ®éng ®iÒu hoµ cïng phð¬ng, cïng
tÇn sè :
x1 = 3cos(5π t) (cm)
x2 = 4cos(5π t +

π
) (cm)
3

T×m phð¬ng tr×nh cña dao ®éng tæng hîp.
H×nh 5.3

Gi¶i : Ta vÏ hai vect¬ quay OM1 vµ OM2 biÓu diÔn hai
dao ®éng thµnh phÇn t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu (H.5.3).
¸p dông hai c«ng thøc (5.1) vµ (5.2), ta ®ðîc :
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
A = 32 + 42 + 2.3.4.cos60o...