HÌNH HOÏC

12

(Tái bản lần thứ mười một)

KÝ hiÖu dïng trong s¸ch
Ho¹t ®éng cña häc sinh trªn líp

B¶n quyÒn thuéc Nhμ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam  Bé Gi¸o dôc vμ §μo t¹o.
01-2019/CXBIPH/648-935/GD

2

M· sè : CH202t9

CH¦¥NG

I
khèi ®a diÖn
Kh¸i niÖm vÒ khèi ®a diÖn
Khèi ®a diÖn ®Òu
ThÓ tÝch khèi ®a diÖn

Một khối muèi ¨n

Trong thùc tÕ chóng ta th−êng gÆp nh÷ng vËt thÓ kh«ng
gian ®−îc giíi h¹n bëi c¸c ®a gi¸c như viªn g¹ch, khèi
lËp ph−¬ng, kim tù th¸p Ai CËp, tinh thÓ cña mét sè hîp
chÊt ho¸ häc nh− muèi ¨n, phÌn chua .... Nh÷ng vËt thÓ
®ã ®−îc gäi lμ nh÷ng khèi ®a diÖn. VÒ mÆt to¸n häc,
viÖc ®Þnh nghÜa chÝnh x¸c khèi ®a diÖn kh«ng ®¬n gi¶n.
Trong ch−¬ng nμy ta chØ giíi thiÖu kh¸i niÖm vÒ khèi ®a
diÖn, khèi ®a diÖn ®Òu vμ ®−a ra c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch
cña mét sè khèi ®a diÖn quen thuéc.

3

§1. KH¸I NIÖM VÒ KHèI §A DIÖN

1

Nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa h×nh l¨ng trô vμ h×nh chãp.

I- Khèi l¨ng trô vμ khèi chãp
Quan s¸t khèi rubic trong h×nh 1.1, ta thÊy
c¸c mÆt ngoμi cña nã t¹o thμnh mét h×nh
lËp ph−¬ng. Khi ®ã ta nãi khèi rubic cã
h×nh d¸ng lμ mét khèi lËp ph−¬ng. Nh−
vËy cã thÓ xem khèi lËp ph−¬ng lμ phÇn
kh«ng gian ®−îc giíi h¹n bëi mét h×nh lËp
ph−¬ng, kÓ c¶ h×nh lËp ph−¬ng Êy.
T−¬ng tù, khèi l¨ng trô lμ phÇn kh«ng
gian ®−îc giíi h¹n bëi mét h×nh l¨ng trô
kÓ c¶ h×nh l¨ng trô Êy, khèi chãp lμ phÇn
kh«ng gian ®−îc giíi h¹n bëi mét h×nh
chãp kÓ c¶ h×nh chãp Êy, khèi chãp côt lμ
phÇn kh«ng gian ®−îc giíi h¹n bëi mét
h×nh chãp côt kÓ c¶ h×nh chãp côt Êy.

H×nh 1.1

Tªn cña khèi l¨ng trô hay khèi chãp ®−îc ®Æt theo tªn cña h×nh l¨ng trô hay
h×nh chãp giíi h¹n nã. Ch¼ng h¹n øng víi h×nh l¨ng trô lôc gi¸c
ABCDEF.A'B'C'D'E'F' ta cã khèi l¨ng trô lôc gi¸c ABCDEF.A'B'C'D'E'F',
øng víi h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD ta cã khèi chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD
(h.1.2) ...

H×nh 1.2

4

Ta còng gäi ®Ønh, c¹nh, mÆt, mÆt bªn, mÆt ®¸y, c¹nh bªn, c¹nh ®¸y... cña mét
h×nh l¨ng trô (h×nh chãp, hay h×nh chãp côt) theo thø tù lμ ®Ønh, c¹nh, mÆt,
mÆt bªn, mÆt ®¸y, c¹nh bªn, c¹nh ®¸y... cña khèi l¨ng trô (khèi chãp, hay
khèi chãp côt) t−¬ng øng.
§iÓm kh«ng thuéc khèi l¨ng trô ®−îc gäi lμ ®iÓm ngoμi cña khèi l¨ng trô,
®iÓm thuéc khèi l¨ng trô nh−ng kh«ng thuéc h×nh l¨ng trô øng víi khèi l¨ng
trô ®ã ®−îc gäi lμ ®iÓm trong cña khèi l¨ng trô. §iÓm trong hay ®iÓm ngoμi
cña khèi chãp, khèi chãp côt còng ®−îc ®Þnh nghÜa t−¬ng tù.
VÝ dô

H×nh 1.3
Kim tù th¸p ë Ai CËp lμ k× quan
duy nhÊt trong b¶y k× quan cña thÕ
giíi cæ ®¹i cßn l¹i ®Õn ngμy nay,
chóng cã h×nh d¸ng lμ nh÷ng khèi
chãp tø gi¸c ®Òu.

II- kh¸i niÖm vÒ h×nh ®a diÖn vμ KHèI §A DIÖn
1. Kh¸i niÖm vÒ h×nh ®a diÖn

H×nh 1.4

5

2 KÓ tªn c¸c mÆt cña h×nh l¨ng trô ABCDE.A'B'C'D'E' vμ h×nh chãp S.ABCDE (h.1.4).

Quan s¸t c¸c h×nh l¨ng trô, h×nh chãp nãi ë trªn ta thÊy chóng ®Òu lμ nh÷ng h×nh
kh«ng gian ®−îc t¹o bëi mét sè h÷u h¹n ®a gi¸c. C¸c ®a gi¸c Êy cã tÝnh chÊt :
a) Hai ®a gi¸c ph©n biÖt chØ cã thÓ hoÆc kh«ng cã ®iÓm chung,
hoÆc chØ cã mét ®Ønh chung, hoÆc chØ cã mét c¹nh chung.
b) Mçi c¹nh cña ®a gi¸c nμo còng lμ c¹nh chung cña ®óng
hai ®a gi¸c.
Ng−êi ta cßn gäi c¸c h×nh ®ã lμ c¸c h×nh ®a diÖn.
Nãi mét c¸ch tæng qu¸t h×nh ®a diÖn (gäi t¾t lμ ®a diÖn) lμ h×nh ®−îc t¹o bëi
mét sè h÷u h¹n c¸c ®a gi¸c tho¶ m·n hai tÝnh chÊt trªn. Mçi ®a gi¸c nh− thÕ
gäi lμ mét mÆt cña h×nh ®a diÖn. C¸c ®Ønh, c¹nh cña c¸c ®a gi¸c Êy theo thø tù
®−îc gäi lμ c¸c ®Ønh, c¹nh cña h×nh ®a diÖn (h.1.5).

H×nh 1.5

2. Kh¸i niÖm vÒ khèi ®a diÖn
Khèi ®a diÖn lμ phÇn kh«ng gian ®−îc giíi h¹n bëi mét h×nh
®a diÖn, kÓ c¶ h×nh ®a diÖn ®ã.
Nh÷ng ®iÓm kh«ng thuéc khèi ®a diÖn ®−îc gäi lμ ®iÓm ngoμi cña khèi ®a
diÖn. Nh÷ng ®iÓm thuéc khèi ®a diÖn nh−ng kh«ng thuéc h×nh ®a diÖn giíi
h¹n khèi ®a diÖn Êy ®−îc gäi lμ ®iÓm trong cña khèi ®a diÖn. TËp hîp c¸c
®iÓm trong ®−îc gäi lμ miÒn trong, tËp hîp c¸c ®iÓm ngoμi ®−îc gäi lμ miÒn
ngoμi cña khèi ®a diÖn.
Mçi khèi ®a diÖn ®−îc x¸c ®Þnh bëi h×nh ®a diÖn øng víi nã. Ta còng gäi
®Ønh, c¹nh, mÆt, ®iÓm trong, ®iÓm ngoμi... cña mét khèi ®a diÖn theo thø tù lμ
®Ønh, c¹nh, mÆt, ®iÓm trong, ®iÓm ngoμi... cña h×nh ®a diÖn t−¬ng øng.
6

Mçi h×nh ®a diÖn chia c¸c ®iÓm cßn l¹i cña kh«ng gian thμnh hai miÒn kh«ng
giao nhau lμ miÒn trong vμ miÒn ngoμi cña h×nh ®a diÖn, trong ®ã chØ cã miÒn
ngoμi lμ chøa hoμn toμn mét ®−êng th¼ng nμo ®Êy.

H×nh 1.6

VÝ dô
 C¸c h×nh d−íi ®©y lμ nh÷ng khèi ®a diÖn :

H×nh 1.7

 C¸c h×nh d−íi ®©y kh«ng ph¶i lμ nh÷ng khèi ®a diÖn :

a)

b)

c)

H×nh 1.8

7

– Nh÷ng viªn kim c−¬ng cã h×nh d¹ng lμ nh÷ng khèi ®a diÖn :

H×nh 1.9

3

Gi¶i thÝch t¹i sao h×nh 1.8c kh«ng ph¶i lμ mét khèi ®a diÖn ?

III- Hai §a diÖn b»ng nhau
1. PhÐp dêi h×nh trong kh«ng gian
PhÐp biÕn h×nh vμ phÐp dêi h×nh trong kh«ng gian ®−îc ®Þnh nghÜa t−¬ng tù
nh− trong mÆt ph¼ng.
Trong kh«ng gian, quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi ®iÓm M víi
®iÓm M' x¸c ®Þnh duy nhÊt ®−îc gäi lμ mét phÐp biÕn h×nh
trong kh«ng gian.
PhÐp biÕn h×nh trong kh«ng gian ®−îc gäi lμ phÐp dêi h×nh
nÕu nã b¶o toμn kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm tuú ý.
VÝ dô
Trong kh«ng gian, c¸c phÐp biÕn h×nh sau
®©y lμ nh÷ng phÐp dêi h×nh :

a) PhÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ v , lμ phÐp biÕn
h×nh biÕn mçi ®iÓm M thμnh ®iÓm M' sao
 
cho MM   v (h.1.10a).
8

H×nh 1.10a)

b) PhÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng (P),
lμ phÐp biÕn h×nh biÕn mçi ®iÓm
thuéc (P) thμnh chÝnh nã, biÕn mçi
®iÓm M kh«ng thuéc (P) thμnh ®iÓm
M' sao cho (P) lμ mÆt ph¼ng trung
trùc cña MM' (h.1.10b).
NÕu phÐp ®èi xøng qua mÆt ph¼ng (P)
biÕn h×nh (H) thμnh chÝnh nã th× (P)
®−îc gäi lμ mÆt ph¼ng ®èi xøng cña (H).

H×nh 1.10b)

c) PhÐp ®èi xøng t©m O, lμ phÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm O thμnh chÝnh nã, biÕn
mçi ®iÓm M kh¸c O thμnh ®iÓm M' sao cho O lμ trung ®iÓm cña MM' (h.1.11a).
NÕu phÐp ®èi xøng t©m O biÕn h×nh (H) thμnh chÝnh nã th× O ®−îc gäi lμ t©m
®èi xøng cña (H).

a)

b)
H×nh 1.11

d) PhÐp ®èi xøng qua ®−êng th¼ng  (hay phÐp ®èi xøng qua trôc ), lμ
phÐp biÕn h×nh biÕn mäi ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng  thμnh chÝnh nã, biÕn mçi
®iÓm M kh«ng thuéc  thμnh ®iÓm M' sao cho  lμ ®−êng trung trùc cña MM'
(h.1.11b).
NÕu phÐp ®èi xøng qua ®−êng th¼ng  biÕn h×nh (H) thμnh chÝnh nã th×  gäi
lμ trôc ®èi xøng cña (H).
NhËn xÐt

 Thùc hiÖn liªn tiÕp c¸c phÐp dêi h×nh sÏ ®−îc mét phÐp dêi h×nh.

 PhÐp dêi h×nh biÕn ®a diÖn (H) thμnh ®a diÖn (H'), biÕn ®Ønh, c¹nh, mÆt cña
(H) thμnh ®Ønh, c¹nh, mÆt t−¬ng øng cña (H').
9

2. Hai h×nh b»ng nhau
Hai h×nh ®−îc gäi lμ b»ng nhau nÕu cã mét phÐp dêi h×nh
biÕn h×nh nμy thμnh h×nh kia.
§Æc biÖt, hai ®a diÖn ®−îc gäi lμ b»ng nhau nÕu cã mét phÐp dêi h×nh biÕn ®a
diÖn nμy thμnh ®a diÖn kia.
VÝ dô

PhÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ v biÕn ®a diÖn (H) thμnh ®a diÖn (H'), phÐp ®èi
xøng t©m O biÕn ®a diÖn (H') thμnh ®a diÖn (H''). Do ®ã phÐp dêi h×nh cã
®−îc b»ng c¸ch thùc hiÖn liªn tiÕp hai phÐp biÕn h×nh trªn biÕn (H) thμnh
(H''). Tõ ®ã suy ra c¸c ®a diÖn (H), (H') vμ (H'') b»ng nhau (h.1.12).

H×nh 1.12

4

Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D'. Chøng minh r»ng hai l¨ng trô ABD.A'B'D' vμ
BCD.B'C'D' b»ng nhau.

IV- PH¢N CHIA vμ l¾p ghÐp c¸c KHèI §A DIÖN
NÕu khèi ®a diÖn (H) lμ hîp cña hai khèi ®a diÖn ( H1 ), ( H2 ) sao cho ( H1 )
vμ ( H2 ) kh«ng cã chung ®iÓm trong nμo th× ta nãi cã thÓ chia ®−îc khèi ®a
diÖn (H) thμnh hai khèi ®a diÖn ( H1 ) vμ ( H2 ) , hay cã thÓ l¾p ghÐp hai khèi
®a diÖn ( H1 ) vμ ( H2 ) víi nhau ®Ó ®−îc khèi ®a diÖn (H) (h.1.13).
10

( H)

( H1 )

( H2 )

H×nh 1.13

VÝ dô. XÐt khèi lËp ph−¬ng ABCD.A'B'C'D'. MÆt ph¼ng (P) ®i qua BDD'B' c¾t
khèi lËp ph−¬ng ®ã theo mét thiÕt diÖn lμ h×nh ch÷ nhËt BDD'B'. ThiÕt diÖn
nμy chia c¸c ®iÓm cßn l¹i cña khèi lËp ph−¬ng ra lμm hai phÇn. Mçi phÇn
cïng víi h×nh ch÷ nhËt BDD'B' t¹o thμnh mét khèi l¨ng trô, nh− vËy ta cã hai
khèi l¨ng trô : ABD.A'B'D' vμ BCD.B'C'D'. Khi ®ã ta nãi mÆt ph¼ng (P) chia
khèi lËp ph−¬ng ABCD.A'B'C'D' thμnh hai khèi l¨ng trô ABD.A'B'D' vμ
BCD.B'C'D'.

T−¬ng tù nh− trªn ta cã thÓ chia tiÕp khèi l¨ng trô ABD.A'B'D' thμnh ba khèi
tø diÖn : ADBB', ADB'D' vμ AA'B'D' (h.1.14).

H×nh 1.14

11

Lμm theo qu¸ tr×nh ng−îc l¹i ta cã thÓ ghÐp khèi l¨ng trô BCD.B'C'D' vμ c¸c
khèi tø diÖn ADBB', ADB'D', AA'B'D' víi nhau ®Ó ®−îc khèi lËp ph−¬ng
ABCD.A'B'C'D'.
NhËn xÐt

Mét khèi ®a diÖn bÊt k× lu«n cã thÓ ph©n chia ®−îc thμnh nh÷ng khèi tø diÖn.

BμI TËP
1. Chøng minh r»ng mét ®a diÖn cã c¸c mÆt lμ nh÷ng tam gi¸c th× tæng sè c¸c
mÆt cña nã ph¶i lμ mét sè ch½n. Cho vÝ dô.
2. Chøng minh r»ng mét ®a diÖn mμ mçi ®Ønh cña nã ®Òu lμ ®Ønh chung cña mét
sè lÎ mÆt th× tæng sè c¸c ®Ønh cña nã ph¶i lμ mét sè ch½n. Cho vÝ dô.
3. Chia mét khèi lËp ph−¬ng thμnh n¨m khèi tø diÖn.
4. Chia mét khèi lËp ph−¬ng thμnh s¸u khèi tø diÖn b»ng nhau.

§Þnh nghÜa ®a diÖn vμ khèi ®a diÖn
ë ®Çu ch−¬ng, chóng ta míi chØ tr×nh bμy s¬ l−îc vÒ c¸c kh¸i niÖm ®a diÖn
vμ khèi ®a diÖn. B©y giê ta sÏ tr×nh bμy mét c¸ch chÝnh x¸c h¬n nh÷ng kh¸i
niÖm ®ã.

Kh¸i niÖm ®a diÖn vμ khèi ®a diÖn cã thÓ ®−îc hiÓu theo nhiÒu c¸ch kh¸c
nhau. §a diÖn vμ khèi ®a diÖn võa ®−îc tr×nh bμy trong ch−¬ng I dùa vμo ®Þnh
nghÜa sau ®©y.
§Þnh nghÜa

H×nh ®a diÖn (gäi t¾t lμ ®a diÖn) lμ h×nh ®−îc t¹o bëi mét sè h÷u h¹n c¸c ®a
gi¸c, gäi lμ c¸c mÆt cña h×nh ®a diÖn, tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau :
12

a) Hai mÆt ph©n biÖt chØ cã thÓ hoÆc kh«ng giao nhau hoÆc cã mét ®Ønh
chung, hoÆc cã mét c¹nh chung.
b) Mçi c¹nh thuéc mét mÆt lμ c¹nh chung cña ®óng hai mÆt.
c) Cho hai mÆt S vμ S', lu«n tån t¹i mét d·y c¸c mÆt S0, S1, ..., Sn sao cho S0
trïng víi S, Sn trïng víi S' vμ bÊt k× hai mÆt Si, Si+1 nμo ( 0  i  n  1 ) còng
®Òu cã mét c¹nh chung.
C¸c ®Ønh, c¹nh cña mÆt theo thø tù ®−îc gäi lμ c¸c ®Ønh, c¹nh cña h×nh ®a diÖn.
VÝ dô

H×nh (H) trong h×nh 1.15 lμ h×nh t¹o bëi
hai h×nh lËp ph−¬ng chØ chung nhau mét
®Ønh. Khi ®ã (H) kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt
c) nªn nã kh«ng ph¶i lμ mét h×nh ®a diÖn.
Tõ ®Þnh nghÜa trªn, ng−êi ta chøng minh
®−îc ®Þnh lÝ sau gäi lμ ®Þnh lÝ Gioãc-®an
(Jordan) trong kh«ng gian.
H×nh 1.15

§Þnh lÝ

Mçi ®a diÖn chia c¸c ®iÓm cßn l¹i cña kh«ng gian thμnh hai miÒn sao cho :
a) Hai ®iÓm thuéc cïng mét miÒn lu«n cã thÓ nèi víi nhau b»ng mét ®−êng
gÊp khóc n»m hoμn toμn trong miÒn ®ã.
b) Mäi ®−êng gÊp khóc nèi hai ®iÓm thuéc hai miÒn kh¸c nhau ®Òu cã ®iÓm
chung víi ®a diÖn.
c) Cã mét vμ chØ mét miÒn
chøa hoμn toμn mét ®−êng
th¼ng nμo ®Êy.
MiÒn chøa hoμn toμn mét
®−êng th¼ng nμo ®Êy ®−îc
gäi lμ miÒn ngoμi cña ®a
diÖn, miÒn cßn l¹i ®−îc gäi
lμ miÒn trong cña ®a diÖn.
§iÓm thuéc miÒn ngoμi gäi
lμ ®iÓm ngoμi, ®iÓm thuéc
miÒn trong gäi lμ ®iÓm trong
cña ®a diÖn.

H×nh 1.16

13

Trong h×nh 1.16, A lμ ®iÓm trong, B, C, D lμ ®iÓm ngoμi cña h×nh ®a diÖn (H).
MiÒn ngoμi cña (H) chøa ®−êng th¼ng d.
§Þnh nghÜa

§a diÖn cïng víi miÒn trong cña nã ®−îc gäi lμ mét khèi ®a diÖn.
Trong thùc tÕ, chóng ta th−êng gÆp nh÷ng vËt thÓ cã h×nh d¸ng lμ nh÷ng khèi
®a diÖn. Tõ nh÷ng c«ng tr×nh vÜ ®¹i nh− kim tù th¸p Ai CËp, nh÷ng toμ nhμ cao
tÇng hiÖn ®¹i ®Õn nh÷ng vËt thÓ nhá nh− tinh thÓ cña c¸c hîp chÊt : ®−êng,
muèi, th¹ch anh... ®Òu lμ nh÷ng khèi ®a diÖn. Do ®ã, viÖc nghiªn cøu c¸c khèi
®a diÖn kh«ng nh÷ng lμm phong phó thªm c¸c kiÕn thøc vÒ h×nh häc mμ cßn
gãp phÇn gi¶i quyÕt nhiÒu bμi to¸n thùc tiÔn, phôc vô cuéc sèng con ng−êi.

§2. KHèI §A DIÖn låi vμ
khèi ®a diÖn §ÒU

I- Khèi ®a diÖn låi

Khèi ®a diÖn (H) ®−îc gäi lμ khèi ®a diÖn låi nÕu ®o¹n th¼ng
nèi hai ®iÓm bÊt k× cña (H) lu«n thuéc (H). Khi ®ã ®a diÖn
x¸c ®Þnh (H) ®−îc gäi lμ ®a diÖn låi (h.1.17).

H×nh 1.17

14

VÝ dô. C¸c khèi l¨ng trô tam
gi¸c, khèi hép, khèi tø diÖn lμ
nh÷ng khèi ®a diÖn låi.

Ng−êi ta chøng minh ®−îc
r»ng mét khèi ®a diÖn lμ khèi
®a diÖn låi khi vμ chØ khi
miÒn trong cña nã lu«n n»m
vÒ mét phÝa ®èi víi mçi mÆt
ph¼ng chøa mét mÆt cña nã
(h.1.18).

H×nh 1.18

1 T×m vÝ dô vÒ khèi ®a diÖn låi

vμ khèi ®a diÖn kh«ng låi trong
thùc tÕ.
II- Khèi ®a diÖn ®Òu

Quan s¸t khèi tø diÖn ®Òu
(h.1.19a), ta thÊy c¸c mÆt cña
nã lμ nh÷ng tam gi¸c ®Òu, mçi
®Ønh cña nã lμ ®Ønh chung cña
®óng ba mÆt. §èi víi khèi lËp
ph−¬ng (h.1.19b), ta thÊy c¸c
mÆt cña nã lμ nh÷ng h×nh
vu«ng, mçi ®Ønh cña nã lμ
®Ønh chung cña ®óng ba mÆt.
Nh÷ng khèi ®a diÖn nãi trªn
®−îc gäi lμ nh÷ng khèi ®a
diÖn ®Òu.

a)

b)
H×nh 1.19

§Þnh nghÜa

Khèi ®a diÖn ®Òu lμ khèi ®a diÖn låi cã tÝnh chÊt sau ®©y :
a) Mçi mÆt cña nã lμ mét ®a gi¸c ®Òu p c¹nh.
b) Mçi ®Ønh cña nã lμ ®Ønh chung cña ®óng q mÆt.
Khèi ®a diÖn ®Òu nh− vËy ®−îc gäi lμ khèi ®a diÖn ®Òu lo¹i {p ; q}.
Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy c¸c mÆt cña khèi ®a diÖn ®Òu lμ nh÷ng ®a gi¸c ®Òu
b»ng nhau.
15

Ng−êi ta chøng minh ®−îc ®Þnh lÝ sau :
§Þnh lÝ

ChØ cã n¨m lo¹i khèi ®a diÖn ®Òu. §ã lμ lo¹i {3 ; 3}, lo¹i {4 ; 3},
lo¹i {3 ; 4}, lo¹i {5 ; 3} vμ lo¹i {3 ; 5}.
Tuú theo sè mÆt cña chóng, n¨m lo¹i khèi ®a diÖn ®Òu kÓ trªn theo thø tù
®−îc gäi lμ c¸c khèi tø diÖn ®Òu, khèi lËp ph−¬ng, khèi b¸t diÖn ®Òu (hay
khèi t¸m mÆt ®Òu), khèi m−êi hai mÆt ®Òu vμ khèi hai m−¬i mÆt ®Òu (h.1.20).

H×nh 1.20

2

§Õm sè ®Ønh, sè c¹nh cña khèi b¸t diÖn ®Òu.

C¸c h×nh ®a diÖn ®Òu lμ nh÷ng h×nh cã vÎ ®Ñp c©n ®èi, hμi hoμ. C¸c nhμ to¸n
häc cæ ®¹i xem chóng lμ nh÷ng h×nh lÝ t−ëng. VÎ ®Ñp cña chóng còng lμm
nhiÒu ho¹ sÜ quan t©m. Lª-«-na-®« §a Vin-xi (Leonardo da Vinci) ho¹ sÜ
thiªn tμi ng−êi I-ta-li-a ®· tõng vÏ kh¸ nhiÒu h×nh ®a diÖn trong ®ã cã c¸c
h×nh ®a diÖn ®Òu. D−íi ®©y lμ h×nh m−êi hai mÆt ®Òu vμ h×nh hai m−¬i mÆt
®Òu do «ng vÏ (h.1.21).

H×nh 1.21

16

B¶ng tãm t¾t cña n¨m lo¹i khèi ®a diÖn ®Òu
Lo¹i

Tªn gäi

{3 ; 3}
{4 ; 3}
{3 ; 4}
{5 ; 3}
{3 ; 5}

Tø diÖn ®Òu
LËp ph−¬ng
B¸t diÖn ®Òu
M−êi hai mÆt ®Òu
Hai m−¬i mÆt ®Òu

Sè ®Ønh

Sè c¹nh

Sè mÆt

4
8
6
20
12

6
12
12
30
30

4
6
8
12
20

VÝ dô

Chøng minh r»ng :
a) Trung ®iÓm c¸c c¹nh cña mét tø diÖn ®Òu lμ c¸c ®Ønh cña mét h×nh b¸t diÖn ®Òu.
b) T©m c¸c mÆt cña mét h×nh lËp ph−¬ng lμ c¸c ®Ønh cña mét h×nh b¸t diÖn ®Òu.

Gi¶i
a) Cho tø diÖn ®Òu ABCD, c¹nh b»ng a. Gäi I, J, E, F, M vμ N lÇn l−ît lμ
trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AC, BD, AB, BC, CD vμ DA (h.1.22a).
3 Chøng minh r»ng t¸m tam gi¸c IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN vμ JNE lμ

nh÷ng tam gi¸c ®Òu c¹nh b»ng

a

2

T¸m tam gi¸c ®Òu nãi trªn t¹o thμnh mét ®a diÖn cã c¸c ®Ønh lμ I, J, E, F, M, N
mμ mçi ®Ønh lμ ®Ønh chung cña ®óng bèn tam gi¸c ®Òu. Do ®ã ®a diÖn Êy lμ
®a diÖn ®Òu lo¹i {3 ; 4}, tøc lμ h×nh b¸t diÖn ®Òu.

a)

b)
H×nh 1.22

17

b) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A'B'C'D' cã c¹nh b»ng a (h.1.22b).
4 Chøng minh r»ng AB'CD' lμ mét tø diÖn ®Òu. TÝnh c¸c c¹nh cña nã theo a.

Gäi I, J, E, F, M vμ N lÇn l−ît lμ t©m cña c¸c mÆt ABCD, A'B'C'D', ABB'A',
BCC'B', CDD'C' vμ DAA'D' cña h×nh lËp ph−¬ng. §Ó ý r»ng s¸u ®iÓm trªn còng
lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AC, B'D', AB', B'C, CD' vμ D'A cña tø diÖn
®Òu AB'CD' nªn theo c©u a) s¸u ®iÓm ®ã lμ c¸c ®Ønh cña h×nh b¸t diÖn ®Òu.

BμI TËP
1. C¾t b×a theo mÉu d−íi ®©y (h.1.23), gÊp theo ®−êng kÎ, råi d¸n c¸c mÐp l¹i ®Ó
®−îc c¸c h×nh tø diÖn ®Òu, h×nh lËp ph−¬ng vμ h×nh b¸t diÖn ®Òu.

H×nh 1.23

2. Cho h×nh lËp ph−¬ng (H). Gäi (H') lμ h×nh b¸t diÖn ®Òu cã c¸c ®Ønh lμ t©m c¸c
mÆt cña (H). TÝnh tØ sè diÖn tÝch toμn phÇn cña (H) vμ (H').
3. Chøng minh r»ng t©m cña c¸c mÆt cña h×nh tø diÖn ®Òu lμ c¸c ®Ønh cña mét
h×nh tø diÖn ®Òu.
4. Cho h×nh b¸t diÖn ®Òu ABCDEF (h.1.24).
Chøng minh r»ng :
a) C¸c ®o¹n th¼ng AF, BD vμ CE ®«i
mét vu«ng gãc víi nhau vμ c¾t nhau
t¹i trung ®iÓm mçi ®−êng.
b) ABFD, AEFC vμ BCDE lμ nh÷ng
h×nh vu«ng.

H×nh 1.24

18

H×nh ®a diÖn ®Òu
C©u chuyÖn vÒ c¸c h×nh ®a diÖn ®Òu mang nhiÒu tÝnh huyÒn tho¹i. Ng−êi ta
kh«ng biÕt ®−îc ai lμ ng−êi ®Çu tiªn ®· t×m ra chóng. Trong mét cuéc khai
quËt, ng−êi ta ®· t×m thÊy mét thø ®å ch¬i cña trÎ em cã h×nh hai m−¬i mÆt
®Òu víi niªn ®¹i c¸ch chóng ta kho¶ng 2500 n¨m. C¸c nhμ to¸n häc cæ ®¹i
Hi L¹p thuéc tr−êng ph¸i Pla-t«ng vμ tr−íc ®ã n÷a lμ tr−êng ph¸i Py-ta-go
(thÕ kØ IV tr−íc C«ng nguyªn) ®· tõng nghiªn cøu vÒ c¸c h×nh ®a diÖn nãi
chung vμ c¸c h×nh ®a diÖn ®Òu nãi riªng. C¸c nhμ to¸n häc thêi bÊy giê coi
n¨m lo¹i h×nh ®a diÖn ®Òu lμ nh÷ng h×nh lÝ t−ëng. Ng−êi ta coi bèn lo¹i ®a
diÖn ®Òu dÔ dùng lμ tø diÖn, h×nh lËp ph−¬ng, h×nh b¸t diÖn ®Òu vμ h×nh hai
m−¬i mÆt ®Òu, theo thø tù t−îng tr−ng cho löa, ®Êt, kh«ng khÝ vμ n−íc, ®ã lμ
bèn yÕu tè c¬ b¶n (theo quan niÖm cña thêi bÊy giê) t¹o nªn mäi vËt. Cßn
h×nh m−êi hai mÆt ®Òu t−îng tr−ng cho toμn thÓ vò trô.

Sau nμy ng−êi ta cßn t×m thÊy c¸c h×nh ®a diÖn ®Òu xuÊt hiÖn trong tù nhiªn
d−íi d¹ng tinh thÓ cña nhiÒu hîp chÊt. Ch¼ng h¹n tinh thÓ cña c¸c chÊt
sodium sulphantimoniate, muèi ¨n, chrome alum cã d¹ng t−¬ng øng lμ khèi
tø diÖn, khèi lËp ph−¬ng, khèi b¸t diÖn ®Òu. Cßn hai lo¹i h×nh ®a diÖn ®Òu
phøc t¹p h¬n lμ h×nh m−êi hai mÆt ®Òu vμ h×nh hai m−¬i mÆt ®Òu, xuÊt hiÖn
19

trong khung x−¬ng cña mét sè vi sinh vËt biÓn vÝ dô : circogonia icosahedra
vμ circorrhegma dodecahedra.
C¸c h×nh ®a diÖn ®Òu lμ nh÷ng h×nh cã t©m, trôc hoÆc mÆt ph¼ng ®èi xøng.
ViÖc nghiªn cøu c¸c phÐp biÕn h×nh biÕn mçi h×nh ®a diÖn ®Òu thμnh chÝnh nã
®· ®Æt nÒn mãng cho lÝ thuyÕt vÒ c¸c nhãm h÷u h¹n, mét h−íng nghiªn cøu
quan träng cña ®¹i sè. LÝ thuyÕt nμy cã nhiÒu øng dông trong viÖc nghiªn cøu
c¸c d¹ng tinh thÓ cña c¸c hîp chÊt ho¸ häc.

Mét sè vi sinh vËt biÓn

20

§3. kh¸i niÖm vÒ THÓ TÝCH CñA KHèI §A DIÖN

ThÓ tÝch cña mét khèi ®a diÖn hiÓu theo nghÜa th«ng th−êng lμ sè ®o ®é lín
phÇn kh«ng gian mμ nã chiÕm chç. Tõ xa x−a con ng−êi ®· t×m c¸ch ®o thÓ
tÝch cña c¸c khèi vËt chÊt trong tù nhiªn. §èi víi nh÷ng vËt thÓ láng, nh− khèi
n−íc trong mét c¸i bÓ chøa, ng−êi ta cã thÓ dïng nh÷ng c¸i thïng cã kÝch
th−íc nhá h¬n ®Ó ®ong. §èi víi nh÷ng vËt r¾n cã kÝch th−íc nhá ng−êi ta cã
thÓ th¶ chóng vμo mét c¸i thïng ®æ ®Çy n−íc råi ®o l−îng n−íc trμo ra... Tuy
nhiªn trong thùc tÕ cã nhiÒu vËt thÓ kh«ng thÓ ®o ®−îc b»ng nh÷ng c¸ch trªn.
Ch¼ng h¹n ®Ó ®o thÓ tÝch cña kim tù th¸p Ai CËp ta kh«ng thÓ nhóng nã vμo
n−íc hay chia nhá nã ra ®−îc. V× vËy ng−êi ta t×m c¸ch thiÕt lËp nh÷ng c«ng
thøc tÝnh thÓ tÝch cña mét sè khèi ®a diÖn ®¬n gi¶n khi biÕt kÝch th−íc cña
chóng, råi tõ ®ã t×m c¸ch tÝnh thÓ tÝch cña c¸c khèi ®a diÖn phøc t¹p h¬n.
I- Kh¸i niÖm vÒ thÓ tÝch khèi ®a diÖn

Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng : cã thÓ ®Æt t−¬ng øng cho mçi khèi ®a diÖn
(H) mét sè d−¬ng duy nhÊt V( H ) tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau :
a) NÕu (H) lμ khèi lËp ph−¬ng cã c¹nh b»ng 1 th× V( H ) = 1.
b) NÕu hai khèi ®a diÖn ( H1 ) vμ ( H2 ) b»ng nhau th× V( H )  V( H ) .
1
2
c) NÕu khèi ®a diÖn (H) ®−îc ph©n chia thμnh hai khèi ®a diÖn ( H1 ) vμ ( H2 )
th× : V( H )  V( H )  V( H ) .
1

2

Sè d−¬ng V( H ) nãi trªn ®−îc gäi lμ thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn (H). Sè ®ã còng
®−îc gäi lμ thÓ tÝch cña h×nh ®a diÖn giíi h¹n khèi ®a diÖn (H).
Khèi lËp ph−¬ng cã c¹nh b»ng 1 ®−îc gäi lμ khèi lËp ph−¬ng ®¬n vÞ.
B©y giê ta sÏ xÐt thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt cã ba kÝch th−íc lμ a, b, c.
VÝ dô. TÝnh thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt cã ba kÝch th−íc lμ nh÷ng sè
nguyªn d−¬ng.

21

( H0 )

( H1 )

( H2 )

(H)

H×nh 1.25

Gäi ( H0 ) lμ khèi lËp ph−¬ng ®¬n vÞ.
– Gäi ( H1 ) lμ khèi hép ch÷ nhËt cã ba kÝch th−íc a = 5, b = 1, c = 1.
1 Cã thÓ chia

( H1 ) thμnh bao nhiªu khèi lËp ph−¬ng b»ng ( H0 ) ?

Khi ®ã ta cã V( H )  5.V( H )  5.
1
0
 Gäi ( H2 ) lμ khèi hép ch÷ nhËt cã ba kÝch th−íc a = 5, b = 4, c = 1.
2 Cã thÓ chia

( H2 ) thμnh bao nhiªu khèi hép ch÷ nhËt b»ng ( H1 ) ?

Khi ®ã ta cã V( H )  4.V( H )  4.5  20.
2
1
 Gäi (H) lμ khèi hép ch÷ nhËt cã ba kÝch th−íc a = 5, b = 4, c = 3.
3 Cã thÓ chia (H) thμnh bao nhiªu khèi hép ch÷ nhËt b»ng

( H2 ) ?

Khi ®ã ta cã V( H )  3.V( H ) = 3.4.5 = 60 (h.1.25).
2
LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn, ta suy ra : thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt (H) cã
ba kÝch th−íc lμ nh÷ng sè nguyªn d−¬ng a, b, c lμ V( H ) = abc.
Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng c«ng thøc trªn còng ®óng ®èi víi h×nh hép
ch÷ nhËt cã ba kÝch th−íc lμ nh÷ng sè d−¬ng. Ta cã ®Þnh lÝ sau :
§Þnh lÝ

ThÓ tÝch cña mét khèi hép ch÷ nhËt b»ng tÝch ba kÝch th−íc
cña nã.
22

II- ThÓ tÝch khèi l¨ng trô

NÕu ta xem khèi hép ch÷ nhËt ABCD.A'B'C'D' nh− lμ khèi l¨ng trô cã ®¸y lμ
h×nh ch÷ nhËt A'B'C'D' vμ ®−êng cao AA' th× tõ ®Þnh lÝ trªn suy ra thÓ tÝch cña
nã b»ng diÖn tÝch ®¸y nh©n víi chiÒu cao. Ta cã thÓ chøng minh ®−îc r»ng
®iÒu ®ã còng ®óng ®èi víi mét khèi l¨ng trô bÊt k× (h.1.26).

H×nh 1.26

§Þnh lÝ

ThÓ tÝch khèi l¨ng trô cã diÖn tÝch ®¸y B vμ chiÒu cao h lμ
V = Bh.

III- ThÓ tÝch khèi chãp

§èi víi khèi chãp, ng−êi ta chøng minh ®−îc ®Þnh lÝ sau :
§Þnh lÝ

ThÓ tÝch khèi chãp cã diÖn tÝch ®¸y B vμ chiÒu cao h lμ
V=

1
Bh .
3

Ta còng gäi thÓ tÝch c¸c khèi ®a diÖn, khèi l¨ng trô, khèi chãp ®· nãi ë trªn
lÇn l−ît lμ thÓ tÝch c¸c h×nh ®a diÖn, h×nh l¨ng trô, h×nh chãp x¸c ®Þnh chóng.
23

4 Kim tù th¸p Kª-èp ë Ai CËp (h.1.27) ®−îc x©y dùng vμo kho¶ng 2500 n¨m tr−íc C«ng

nguyªn. Kim tù th¸p nμy lμ mét khèi chãp tø gi¸c ®Òu cã chiÒu cao 147 m, c¹nh ®¸y
dμi 230 m. H·y tÝnh thÓ tÝch cña nã.

H×nh 1.27

VÝ dô

Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C'. Gäi E vμ F lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña
c¸c c¹nh AA' vμ BB'. §−êng th¼ng CE c¾t ®−êng th¼ng C'A' t¹i E'. §−êng
th¼ng CF c¾t ®−êng th¼ng C'B' t¹i F'. Gäi V lμ thÓ tÝch khèi l¨ng trô
ABC.A'B'C'.
a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp C.ABFE theo V.
b) Gäi khèi ®a diÖn (H) lμ phÇn cßn l¹i cña khèi l¨ng trô ABC.A'B'C' sau khi
c¾t bá ®i khèi chãp C.ABFE. TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña (H) vμ cña khèi chãp
C.C'E'F'.

Gi¶i
a) H×nh chãp C.A'B'C' vμ h×nh l¨ng trô ABC.A'B'C' cã ®¸y vμ ®−êng cao b»ng
1
1
2
nhau nªn VC. ABC  V. Tõ ®ã suy ra VC. ABBA  V  V  V.
3
3
3
Do EF lμ ®−êng trung b×nh cña h×nh b×nh hμnh ABB'A' nªn diÖn tÝch ABFE
1
1
b»ng nöa diÖn tÝch ABB'A'. Do ®ã VC. ABFE  VC. ABB ' A '  V (h.1.28).
2
3
24

H×nh 1.28

1
2
b) ¸p dông c©u a) ta cã V( H )  VABC. AB C  VC. ABFE  V  V  V.
3
3
1
CC' nªn theo ®Þnh lÝ Ta-lÐt, A' lμ trung ®iÓm cña
2
E'C'. T−¬ng tù, B' lμ trung ®iÓm cña F'C'. Do ®ã diÖn tÝch tam gi¸c C'E'F' gÊp
4
bèn lÇn diÖn tÝch tam gi¸c A'B'C'. Tõ ®ã suy ra VC.E F C  4 VC. AB C = V.
3
V( H )
1
Do ®ã
= 
VC.E F C
2
V× EA' song song vμ b»ng

BμI TËP
1. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ®Òu c¹nh a.
2. TÝnh thÓ tÝch khèi b¸t diÖn ®Òu c¹nh a.
3. Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D'. TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña khèi hép ®ã vμ thÓ tÝch
cña khèi tø diÖn ACB'D'.
4. Cho h×nh chãp S.ABC. Trªn c¸c ®o¹n th¼ng SA, SB, SC lÇn l−ît lÊy ba ®iÓm
V
SA SB SC
A', B', C' kh¸c víi S. Chøng minh r»ng S. ABC 



VS. ABC
SA SB SC

25

5. Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A vμ AB = a. Trªn ®−êng th¼ng qua C vμ vu«ng
gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) lÊy ®iÓm D sao cho CD = a. MÆt ph¼ng qua C vu«ng
gãc víi BD, c¾t BD t¹i F vμ c¾t AD t¹i E. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn CDEF theo a.
6. Cho hai ®−êng th¼ng chÐo nhau d vμ d'. §o¹n th¼ng AB cã ®é dμi a tr−ît trªn
d, ®o¹n th¼ng CD cã ®é dμi b tr−ît trªn d'. Chøng minh r»ng khèi tø diÖn
ABCD cã thÓ tÝch kh«ng ®æi.

¤N TËP CH¦¥NG I
1. C¸c ®Ønh, c¹nh, mÆt cña mét ®a diÖn ph¶i tho¶ m·n nh÷ng tÝnh chÊt nμo ?
2. T×m mét h×nh t¹o bëi c¸c ®a gi¸c nh−ng kh«ng ph¶i lμ mét ®a diÖn.
3. ThÕ nμo lμ mét khèi ®a diÖn låi ? T×m vÝ dô trong thùc tÕ m« t¶ mét khèi ®a
diÖn låi, mét khèi ®a diÖn kh«ng låi.
4. Cho h×nh l¨ng trô vμ h×nh chãp cã diÖn tÝch ®¸y vμ chiÒu cao b»ng nhau. TÝnh
tØ sè thÓ tÝch cña chóng.
5. Cho h×nh chãp tam gi¸c O.ABC cã ba c¹nh OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc
víi nhau vμ OA = a, OB = b, OC = c. H·y tÝnh ®−êng cao OH cña h×nh chãp.
6. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã c¹nh AB b»ng a. C¸c c¹nh bªn SA, SB, SC

t¹o víi ®¸y mét gãc 60o. Gäi D lμ giao ®iÓm cña SA víi mÆt ph¼ng qua BC vμ
vu«ng gãc víi SA.
a) TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai khèi chãp S.DBC vμ S.ABC.
b) TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.DBC.
7. Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. C¸c mÆt bªn

SAB, SBC, SCA t¹o víi ®¸y mét gãc 60o. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp ®ã.
8. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lμ h×nh ch÷ nhËt, SA vu«ng gãc víi ®¸y
vμ AB = a, AD = b, SA = c. LÊy c¸c ®iÓm B', D' theo thø tù thuéc SB, SD sao
cho AB' vu«ng gãc víi SB, AD' vu«ng gãc víi SD. MÆt ph¼ng (AB'D') c¾t SC
t¹i C'. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AB'C'D'.
9. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD, ®¸y lμ h×nh vu«ng c¹nh a, c¹nh bªn t¹o víi

®¸y mét gãc 60o. Gäi M lμ trung ®iÓm SC. MÆt ph¼ng ®i qua AM vμ song song
víi BD, c¾t SB t¹i E vμ c¾t SD t¹i F. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AEMF.
26

10. Cho h×nh l¨ng trô ®øng tam gi¸c ABC.A'B'C' cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng a.
a) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn A'BB'C.
b) MÆt ph¼ng ®i qua A'B' vμ träng t©m tam gi¸c ABC, c¾t AC vμ BC lÇn l−ît t¹i
E vμ F. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp C.A'B'FE.
11. Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D'. Gäi E vμ F theo thø tù lμ trung ®iÓm cña c¸c
c¹nh BB' vμ DD'. MÆt ph¼ng (CEF) chia khèi hép trªn lμm hai khèi ®a diÖn.
TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai khèi ®a diÖn ®ã.
12. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a. Gäi M lμ trung ®iÓm cña A'B', N
lμ trung ®iÓm cña BC.
a) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ADMN.
b) MÆt ph¼ng (DMN) chia khèi lËp ph−¬ng ®· cho thμnh hai khèi ®a diÖn. Gäi
(H) lμ khèi ®a diÖn chøa ®Ønh A, (H') lμ khèi ®a diÖn cßn l¹i.

TÝnh tØ sè

V( H )
V( H )



C¢U HáI TR¾C NGHIÖM CH¦¥NG I
1. Trong c¸c mÖnh ®Ò sau, mÖnh ®Ò nμo ®óng ?
(A) Sè ®Ønh vμ sè mÆt cña mét h×nh ®a diÖn lu«n b»ng nhau ;
(B) Tån t¹i h×nh ®a diÖn cã sè ®Ønh vμ sè mÆt b»ng nhau ;
(C) Tån t¹i mét h×nh ®a diÖn cã sè c¹nh b»ng sè ®Ønh ;
(D) Tån t¹i mét h×nh ®a diÖn cã sè c¹nh vμ mÆt b»ng nhau.
2. Trong c¸c mÖnh ®Ò sau, mÖnh ®Ò nμo ®óng ?
Sè c¸c ®Ønh hoÆc sè c¸c mÆt cña bÊt k× h×nh ®a diÖn nμo còng :
(A) Lín h¬n hoÆc b»ng 4 ;
(B) Lín h¬n 4 ;
(C) Lín h¬n hoÆc b»ng 5 ;
(D) Lín h¬n 5.
3. Trong c¸c mÖnh ®Ò sau, mÖnh ®Ò nμo ®óng ?
Sè c¸c c¹nh cña h×nh ®a diÖn lu«n lu«n :
(A) Lín h¬n hoÆc b»ng 6 ;
(C) Lín h¬n 7 ;

(B) Lín h¬n 6 ;
(D) Lín h¬n hoÆc b»ng 8.

27

4. Trong c¸c mÖnh ®Ò sau, mÖnh ®Ò nμo sai ?
(A) Khèi tø diÖn lμ khèi ®a diÖn låi ;
(B) Khèi hép lμ khèi ®a diÖn låi ;
(C) L¾p ghÐp hai khèi hép sÏ ®−îc mét khèi ®a diÖn låi ;
(D) Khèi l¨ng trô tam gi¸c lμ khèi ®a diÖn låi.
5. Trong c¸c mÖnh ®Ò sau, mÖnh ®Ò nμo sai ?
(A) Hai khèi chãp cã diÖn tÝch ®¸y vμ chiÒu cao t−¬ng øng b»ng nhau th× cã
thÓ tÝch b»ng nhau.
(B) Hai khèi hép ch÷ nhËt cã diÖn tÝch toμn phÇn b»ng nhau th× cã thÓ tÝch
b»ng nhau.
(C) Hai khèi l¨ng trô cã diÖn tÝch ®¸y vμ chiÒu cao t−¬ng øng b»ng nhau th× cã
thÓ tÝch b»ng nhau.
(D) Hai khèi lËp ph−¬ng cã diÖn tÝch toμn phÇn b»ng nhau th× cã thÓ tÝch b»ng nhau.
6. Cho h×nh chãp S.ABC. Gäi A' vμ B' lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña SA vμ SB. Khi ®ã
tØ sè thÓ tÝch cña hai khèi chãp S.A'B'C vμ S.ABC b»ng :
1
1
1
1
(A) ;
(B) ;
(C) ;
(D) 
2
3
4
8
7. Cho h×nh chãp S.ABCD. Gäi A', B', C', D' theo thø tù lμ trung ®iÓm cña SA, SB,
SC, SD. TØ sè thÓ tÝch cña hai khèi chãp S.A'B'C'D' vμ S.ABCD b»ng :
1
1
1
1
(A) ;
(B) ;
(C) ;
(D)

2
4
8
16
8. ThÓ tÝch cña khèi l¨ng trô tam gi¸c ®Òu cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a lμ :

(A)

2 3
a ;
3

(B)

2 3
a ;
4

(C)

3 3
a ;
2

(D)

3 3
a .
4

9. Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D'. TØ sè thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ACB'D' vμ khèi
hép ABCD.A'B'C'D' b»ng :
1
1
1
1
(B) ;
(C) ;
(D) 
(A) ;
2
3
4
6
10. Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', gäi O lμ giao ®iÓm cña AC vμ BD.
TØ sè thÓ tÝch cña khèi chãp O.A'B'C'D' vμ khèi hép ABCD.A'B'C'D' b»ng :

(A)

28

1
;
2

(B)

1
;
3

(C)

1
;
4

(D)

1

6

CH¦¥NG

II
mÆt nãn, mÆt trô, mÆt cÇu

MÆt trßn xoay
MÆt nãn trßn xoay, mÆt trô trßn xoay
MÆt cÇu

Lμm ®å gèm trªn bμn xoay

29

§1. Kh¸i niÖm vÒ mÆt trßn xoay

I- sù t¹o thμnh MÆt trßn xoay
Xung quanh chóng ta cã nhiÒu vËt thÓ mμ mÆt ngoμi cã h×nh d¹ng lμ nh÷ng
mÆt trßn xoay nh− b×nh hoa, nãn l¸, c¸i b¸t (chÐn) ¨n c¬m, c¸i cèc (li) uèng
n−íc, mét sè chi tiÕt m¸y (h.2.1)… Nhê cã bμn xoay víi sù khÐo lÐo cña ®«i
bμn tay, ng−êi thî gèm cã thÓ t¹o nªn nh÷ng vËt dông cã d¹ng trßn xoay b»ng
®Êt sÐt. Dùa vμo sù quay trßn cña trôc m¸y tiÖn, ng−êi thî c¬ khÝ cã thÓ t¹o
nªn nh÷ng chi tiÕt m¸y b»ng kim lo¹i cã d¹ng trßn xoay. VËy c¸c mÆt trßn
xoay ®−îc h×nh thμnh nh− thÕ nμo ? Sau ®©y chóng ta sÏ t×m hiÓu nh÷ng tÝnh
chÊt h×nh häc cña mÆt trßn xoay.

H×nh 2.1

30

Trong kh«ng gian cho mÆt ph¼ng (P) chøa
®−êng th¼ng  vμ mét ®−êng C. Khi quay
mÆt ph¼ng (P) quanh  mét gãc 360o th×
mçi ®iÓm M trªn ®−êng C v¹ch ra mét
®−êng trßn cã t©m O thuéc  vμ n»m trªn
mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi  . Nh− vËy khi
quay mÆt ph¼ng (P) quanh ®−êng th¼ng 
th× ®−êng C sÏ t¹o nªn mét h×nh ®−îc gäi lμ
mÆt trßn xoay (h.2.2).
§−êng

C

®−îc gäi lμ ®−êng sinh cña mÆt

trßn xoay ®ã. §−êng th¼ng  ®−îc gäi lμ
trôc cña mÆt trßn xoay.
H×nh 2.2

1 H·y nªu tªn mét sè ®å vËt mμ mÆt ngoμi cã

h×nh d¹ng lμ c¸c mÆt trßn xoay.
II- MÆt nãn trßn xoay
1. §Þnh nghÜa
Trong mÆt ph¼ng (P) cho hai
®−êng th¼ng d vμ  c¾t nhau
t¹i ®iÓm O vμ t¹o thμnh gãc 
víi 0o    90o. Khi quay mÆt
ph¼ng (P) xung quanh  th×
®−êng th¼ng d sinh ra mét mÆt
trßn xoay ®−îc gäi lμ mÆt nãn
trßn xoay ®Ønh O. Ng−êi ta
th−êng gäi t¾t mÆt nãn trßn
xoay lμ mÆt nãn. §−êng th¼ng
 gäi lμ trôc, ®−êng th¼ng d gäi
lμ ®−êng sinh vμ gãc 2 gäi lμ
gãc ë ®Ønh cña mÆt nãn ®ã
(h.2.3).
H×nh 2.3

31

2. H×nh nãn trßn xoay vμ khèi nãn trßn xoay
a) Cho tam gi¸c OIM vu«ng t¹i I (h.2.4). Khi
quay tam gi¸c ®ã xung quanh c¹nh gãc vu«ng
OI th× ®−êng gÊp khóc OMI t¹o thμnh mét
h×nh ®−îc gäi lμ h×nh nãn trßn xoay, gäi t¾t lμ
h×nh nãn.
H×nh trßn t©m I sinh bëi c¸c ®iÓm thuéc c¹nh
IM khi IM quay quanh trôc OI ®−îc gäi lμ mÆt
®¸y cña h×nh nãn, ®iÓm O gäi lμ ®Ønh cña h×nh
nãn. §é dμi ®o¹n OI gäi lμ chiÒu cao cña h×nh
nãn, ®ã còng lμ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn mÆt
ph¼ng ®¸y. §é dμi ®o¹n OM gäi lμ ®é dμi
®−êng sinh cña h×nh nãn. PhÇn mÆt trßn xoay
®−îc sinh ra bëi c¸c ®iÓm trªn c¹nh OM khi
quay quanh trôc OI gäi lμ mÆt xung quanh cña
h×nh nãn ®ã.

H×nh 2.4

b) Khèi nãn trßn xoay lμ phÇn kh«ng gian ®−îc giíi h¹n bëi mét h×nh nãn
trßn xoay kÓ c¶ h×nh nãn ®ã. Ng−êi ta cßn gäi t¾t khèi nãn trßn xoay lμ khèi
nãn. Nh÷ng ®iÓm kh«ng thuéc khèi nãn ®−îc gäi lμ nh÷ng ®iÓm ngoμi cña
khèi nãn. Nh÷ng ®iÓm thuéc khèi nãn nh−ng kh«ng thuéc h×nh nãn øng víi
khèi nãn Êy ®−îc gäi lμ nh÷ng ®iÓm trong cña khèi nãn. Ta gäi ®Ønh, mÆt
®¸y, ®−êng sinh cña mét h×nh nãn theo thø tù lμ ®Ønh, mÆt ®¸y, ®−êng sinh
cña khèi nãn t−¬ng øng.
3. DiÖn tÝch xung quanh cña h×nh nãn trßn xoay
a) Mét h×nh chãp ®−îc gäi lμ néi tiÕp mét h×nh nãn nÕu ®¸y cña h×nh chãp lμ
®a gi¸c néi tiÕp ®−êng trßn ®¸y cña h×nh nãn vμ ®Ønh cña h×nh chãp lμ ®Ønh
cña h×nh nãn. Khi ®ã ta cßn nãi h×nh nãn ngo¹i tiÕp h×nh chãp. Ta cã ®Þnh
nghÜa sau :
DiÖn tÝch xung quanh cña h×nh nãn trßn xoay lμ giíi h¹n cña
diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp ®Òu néi tiÕp h×nh nãn ®ã
khi sè c¹nh ®¸y t¨ng lªn v« h¹n.
b) C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh nãn
Gäi p lμ chu vi ®¸y cña h×nh chãp ®Òu néi tiÕp...